Exercício 3: Calcule
a) integral triplaE x^2 d V, onde E é o sólido limitado por z=0, x^2+y^2=1 e z=raiz4 x^2+4 y^2.
b) integral triplaS raizx^2+y^2+z^2 d V, onde S é o sólido de menor volume que é limitado pelas superfícies cujas equações são x^2+y^2+z^2=4 e z=raiz3 x^2+3 y^2.
c) integral triplaE z d V, onde E é o sólido limitado por z=raiz1-x^2-y^2 e z=raiz4-x^2-y^2.
d) A massa e o centro de massa do sólido S limitado por z=4 x^2+4 y^2 e z=4, sabendo que S tem densidade constante e igual a 3 / pi.

Passo 1

O enunciado pede quatro cálculos de integrais triplas e, na última, massa e centro de massa de um corpo com densidade constante. Vamos usar coordenadas cilíndricas (r,theta,z) sempre que a região tiver simetria em torno do eixo z e coordenadas esféricas (rho,phi,theta) quando surgir uma esfera ou um cone.

Passo 2

Para (a), a região E é limitada por z=0, pelo cilindro x^2+y^2=1 (ou seja r<=1) e pela superfície z=raiz4x^2+4y^2=2r. Em cilíndricas temos
0<=theta<=2pi, 0<= r<=1, 0<= z<=2r,
e x^2=r^2cos^2theta, dV=r,dz,dr,dtheta. Logo
integral triplaEx^2,dV =integral0^2pi!!integral0^1!!integral0^2rr^2cos^2theta;r,dz,dr,dtheta =integral0^2picos^2theta,dtheta;integral0^12,r^4,dr
Aqui integral0^2picos^2theta,dtheta=pi e integral0^12r^4,dr=2/5, de modo que o resultado é
2pi5

Passo 3

Para (b), a região S é o interior da esfera rho=2 acima do cone z=raiz3(x^2+y^2). Em esféricas esse cone satisfaz
rhocosphi=raiz3,rhosinphi, ou seja cotphi=raiz3Rightarrowphi=pi/6. Assim
0<=theta<=2pi, 0<=phi<=pi6, 0<=rho<=2,
e raizx^2+y^2+z^2=rho, dV=rho^2sinphi,drho,dphi,dtheta. Então
integral triplaSrho,dV =integral0^2pi!!integral0^pi/6!!integral0^2rho;rho^2sinphi,drho,dphi,dtheta =2piintegral0^pi/6sinphi,dphi;integral0^2rho^3,drho
Calculando integral0^pi/6sinphi,dphi=1-raiz32 e integral0^2rho^3,drho=4, obtemos
2pil(1-tfracraiz32r)cdot4 =8pil(1-raiz32r)

Passo 4

Para (c), E é o sólido entre as duas “cúpulas” z=raiz1-r^2 e z=raiz4-r^2. O raio varia de 0 a 1 (para raiz1-r^2 estar real), theta de 0 a 2pi, e
raiz1-r^2;<= z<=raiz4-r^2, dV=r,dz,dr,dtheta
O integrando é z, então
integral triplaEz,dV =2piintegral0^1rgl[integralraiz1-r^2^raiz4-r^2z,dzgr]dr =2piintegral0^1rcdot12l[(4-r^2)-(1-r^2)r]dr =3piintegral0^1r,dr =3pi2

Passo 5

Em (d), o sólido S é dado por 4r^2<= z<=4 em cilíndricas, com densidade de<a=3/pi. Primeiro a massa:
M=integral0^2pi!!integral0^1!!integral4r^2^43pi;r,dz,dr,dtheta =3pi,2piintegral0^1r,(4-4r^2),dr =6integral0^1(4r-4r^3),dr =6l[2r^2-r^4r]0^1 =6
Pela simetria x e y anulam, resta z-coordenação:
Mz=integral0^2pi!!integral0^1!!integral4r^2^43pi;z,r,dz,dr,dtheta =3pi,2piintegral0^1r4^2-(4r^2)^22,dr =6integral0^1r(16-16r^4),dr =16
Logo o centro de massa é
bar z=MzM=166=83,
e bar x=bar y=0.

Resposta

(a) 2pi5
(b) 8pil(1-raiz32r)
(c) 3pi2
(d) Massa M=6 e centro de massa l(0,0,tfrac83r).

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