Exercício 3: Calcule
a)
, onde
é o sólido limitado por
e
.
b)
, onde
é o sólido de menor volume que é limitado pelas superfícies cujas equações são
e
.
c)
, onde
é o sólido limitado por
e
.
d) A massa e o centro de massa do sólido
limitado por
e
, sabendo que
tem densidade constante e igual a
.
a)
b)
c)
d) A massa e o centro de massa do sólido
Passo 1
O enunciado pede quatro cálculos de integrais triplas e, na última, massa e centro de massa de um corpo com densidade constante. Vamos usar coordenadas cilíndricas
sempre que a região tiver simetria em torno do eixo
e coordenadas esféricas
quando surgir uma esfera ou um cone.
Passo 2
Para (a), a região
é limitada por
, pelo cilindro
(ou seja
) e pela superfície
. Em cilíndricas temos
e
,
. Logo
Aqui
e
, de modo que o resultado é
Passo 3
Para (b), a região
é o interior da esfera
acima do cone
. Em esféricas esse cone satisfaz
, ou seja
. Assim
e
,
. Então
Calculando
e
, obtemos
Passo 4
Para (c),
é o sólido entre as duas “cúpulas”
e
. O raio varia de
a
(para
estar real),
de
a
, e
O integrando é
, então
Passo 5
Em (d), o sólido
é dado por
em cilíndricas, com densidade
. Primeiro a massa:
Pela simetria
e
anulam, resta
-coordenação:
Logo o centro de massa é
e
.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d) Massa e centro de massa
.
(b)
(c)
(d) Massa