Derive implicitamente e encontre fracd yd x :
x^2+y^2=tan (x y)

Passo 1

O enunciado nos dá a equação implícita
x^2+y^2=tan(xy)
e pede dydx. O conteúdo aqui é derivação implícita, usando as regras de derivada de soma, derivada de x^2, derivada de y^2 (com y função de x) e a regra da cadeia para tan.

Passo 2

Derivamos ambos os lados em relação a x. No lado esquerdo,
ddx(x^2+y^2)=2x+2y,dydx
No lado direito, aplicamos a derivada de tan(u) que é sec^2(u),u', com u=xy:
ddxl(tan(xy)r) =sec^2(xy),ddx(xy)

Passo 3

Agora derivamos xy por x (regra do produto):
ddx(xy)=y + x,dydx
Logo, a derivada do lado direito fica
sec^2(xy),(y + x,tfracdydx)

Passo 4

Igualando as duas derivadas:
2x + 2y,dydx =sec^2(xy)l(y + x,tfracdydxr)
Distribuímos e agrupamos os termos com dydx:
2x + 2y,dydx = y,sec^2(xy) + x,sec^2(xy),dydx
Passamos os termos com dydx para o lado esquerdo e os demais para o direito:
2y,dydx - x,sec^2(xy),dydx = y,sec^2(xy) - 2x
Fatoramos dydx:
dydxl(2y - x,sec^2(xy)r) = y,sec^2(xy) - 2x
Por fim, isolamos dydx.

Resposta

dydx =y,sec^2(xy);-;2x2y;-;x,sec^2(xy)

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