Se f é uma função tal que integral-3^3(x-5) f(x) d x=-12, quanto vale integral1^4 x f(5-2 x) d x ?

Passo 1

O enunciado dá
integral-3^3(x-5),f(x),dx=-12
e pede
integral1^4x,f(5-2x),dx
O conteúdo aqui é mudança de variável em integral definida e uso da linearidade da integral para relacionar com a integral dada.

Passo 2

Fazemos a substituição
t = 5 - 2x Longrightarrow x = 5 - t2, dx = -12,dt
Quando x=1 vem t=3 e quando x=4 vem t=-3. Logo,
integral1^4x,f(5-2x),dx = integral3^-35 - t2,f(t),l(-tfrac12r),dt

Passo 3

Trocando os limites para -3 até 3 (o que inverte o sinal), temos
integral1^4x,f(5-2x),dx = integral-3^35 - t4,f(t),dt = 14integral-3^3(5 - t),f(t),dt

Passo 4

Note que
integral-3^3(5 - t),f(t),dt = -integral-3^3(t - 5),f(t),dt = -integral-3^3(x - 5),f(x),dx = -(-12) =12

Passo 5

Portanto
integral1^4x,f(5-2x),dx = 14times 12 =3

Resposta

3

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