Nos itens abaixo, determine o valor exato das integrais definidas (Riemman).
integral-2^1(h+1) raizh+3 d h

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
integral-2^1(h+1)raizh+3,dh
Este é um problema de integração envolvendo uma raiz quadrada; a técnica mais direta é usar substituição para transformar em potências de u.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = h + 3, du = dh
Observe que h = u-3, logo
h+1 = (u-3)+1 = u-2, raizh+3 = raizu
Quando h=-2, u=1; quando h=1, u=4.

Passo 3

Reescrevendo a integral em termos de u e trocando os limites, temos
integral-2^1(h+1)raizh+3,dh = integral1^4(u-2),raizu,du = integral1^4l(u^3/2-2u^1/2r),du

Passo 4

Calculamos as primitivas usando a regra de potência:
integral u^3/2du = 25u^5/2, integral u^1/2du = 23u^3/2
Logo
integrall(u^3/2-2u^1/2r),du = 25u^5/2 - 2cdot23u^3/2 = 25u^5/2 - 43u^3/2

Passo 5

Avaliando de u=1 a u=4:
l[25u^5/2 - 43u^3/2r]1^4 = l(25cdot 4^5/2 - 43cdot 4^3/2r) - l(25cdot 1^5/2 - 43cdot 1^3/2r)
Como 4^5/2=32 e 4^3/2=8, isso dá
l(645-323r) - l(25-43r) = 625-283 = 186-14015 = 4615

Resposta

4615

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