Questão 4. ((2,0)) Use a regra de L’Hospital para calcular os limites a seguir.
(a) \lim _{x \rightarrow \infty}\left(x^{2} e^{1 / x^{2}}-x^{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede calcular
\lim_{x\to\infty}\bigl(x^{2}e^{1/x^{2}}-x^{2}\bigr).
O conteúdo principal aqui é a regra de L’Hôpital para formas indeterminadas.

Passo 2

Fatoramos x^{2} para identificar a forma indeterminada:
x^{2}e^{1/x^{2}}-x^{2} = x^{2}\bigl(e^{1/x^{2}}-1\bigr).
Como x\to\infty, temos x^{2}\to\infty e e^{1/x^{2}}-1\to0, ou seja, é uma forma \infty\cdot0.

Passo 3

Para aplicar L’Hôpital, convertemos esse produto em quociente:
x^{2}\bigl(e^{1/x^{2}}-1\bigr) =\frac{e^{1/x^{2}}-1}{1/x^{2}}.
Agora temos a forma indeterminada 0/0.

Passo 4

Aplicando a regra de L’Hôpital, diferenciamos numerador e denominador em relação a x:
– Numerador:
\frac{d}{dx}\bigl(e^{1/x^{2}}-1\bigr) =e^{1/x^{2}}\cdot\frac{d}{dx}\bigl(1/x^{2}\bigr) =e^{1/x^{2}}\cdot\bigl(-2/x^{3}\bigr).
– Denominador:
\frac{d}{dx}\bigl(1/x^{2}\bigr) =-2/x^{3}.
O quociente das derivadas é
\frac{e^{1/x^{2}}\cdot(-2/x^{3})}{-2/x^{3}} =e^{1/x^{2}}.

Passo 5

Basta agora tomar o limite de e^{1/x^{2}} quando x\to\infty:
\lim_{x\to\infty}e^{1/x^{2}} =e^{0} =1.

Resposta

1

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