Questāo 3. ((3,0)) Calcule as derivadas em relaçāo a (x) usando as regras de derivação.
(e) (\operatorname{tg}(x^{3}-2))

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x)=\operatorname{tg}\bigl(x^{3}-2\bigr)
em relação a x. O conteúdo aqui é a regra da cadeia, além de sabermos que a derivada de \operatorname{tg}(u) é \operatorname{sec}^2(u).

Passo 2

Definimos
u(x) = x^{3}-2
e reescrevemos
f(x)=\operatorname{tg}\bigl(u(x)\bigr).

Passo 3

Pela regra da cadeia, temos
f'(x)=\frac{d}{du}\!\bigl[\operatorname{tg}(u)\bigr]\Bigm|_{u=u(x)}\cdot u'(x).

Passo 4

Sabemos que
\frac{d}{du}\!\bigl[\operatorname{tg}(u)\bigr]=\operatorname{sec}^2(u)
e
u'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{3}-2\bigr)=3x^2.
Substituindo,
f'(x)=\operatorname{sec}^2\bigl(x^{3}-2\bigr)\cdot 3x^2 =3x^2\,\operatorname{sec}^2\bigl(x^{3}-2\bigr).

Resposta

\frac{d}{dx}\operatorname{tg}(x^3-2)=3x^2\operatorname{sec}^2(x^3-2)

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