Derive implicitamente:
Passo 1
O enunciado dá a relação entre
e
onde
é uma função de
(ou seja,
). A pergunta implícita é: encontrar a derivada de
em relação a
, isto é, calcular
usando diferenciação implícita. As informações relevantes são exatamente a equação acima e o fato de que
depende de
.
Passo 2
Vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a
. Ao fazer isso, sempre que apareça
devemos lembrar que
, então usar a regra da cadeia quando apropriado. Começo aplicando a derivada em cada termo:
Passo 3
Derivando
: aqui usamos a regra da cadeia. A regra da cadeia diz que se temos uma função composta
, então
. No nosso caso
e
, então
e
. Portanto
(Exemplo rápido: se
, a derivada é
.)
Passo 4
Derivando
: aqui temos um produto
. A constante
sai da derivada, então basta derivar
. Para
usamos a regra do produto: se
então
. Tomando
e
, tem-se
e
, logo
Multiplicando pela constante
:
Passo 5
Derivando o lado direito
: lembramos que a derivada de
é
(regra da cadeia novamente). Aqui
e
. Portanto
Passo 6
Reunindo os resultados das derivadas nos dois lados, obtemos a igualdade
Passo 7
Agora isolamos
. Primeiro agrupamos os termos que contêm
:
Subtraindo
dos dois lados:
Por fim, dividindo por
(assumindo que esse denominador não seja zero no ponto considerado), obtemos