Derive implicitamente:
y^{3}+2 x y=e^{x^{4}}

Passo 1

O enunciado dá a relação entre x e y
y^{3}+2xy=e^{x^{4}},
onde y é uma função de x (ou seja, y=y(x)). A pergunta implícita é: encontrar a derivada de y em relação a x, isto é, calcular \dfrac{dy}{dx} usando diferenciação implícita. As informações relevantes são exatamente a equação acima e o fato de que y depende de x.

Passo 2

Vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a x. Ao fazer isso, sempre que apareça y devemos lembrar que y=y(x), então usar a regra da cadeia quando apropriado. Começo aplicando a derivada em cada termo:
\frac{d}{dx}\bigl(y^{3}\bigr)+\frac{d}{dx}\bigl(2xy\bigr)=\frac{d}{dx}\bigl(e^{x^{4}}\bigr).

Passo 3

Derivando \dfrac{d}{dx}\bigl(y^{3}\bigr): aqui usamos a regra da cadeia. A regra da cadeia diz que se temos uma função composta F(G(x)), então \dfrac{d}{dx}F(G(x))=F'(G(x))\cdot G'(x). No nosso caso F(u)=u^{3} e u=y(x), então F'(u)=3u^{2} e u'=y'. Portanto
\frac{d}{dx}\bigl(y^{3}\bigr)=3y^{2}\,y'.
(Exemplo rápido: se z=(y(x))^{3}, a derivada é 3(y(x))^{2}\cdot y'(x).)

Passo 4

Derivando \dfrac{d}{dx}\bigl(2xy\bigr): aqui temos um produto 2\cdot(xy). A constante 2 sai da derivada, então basta derivar xy. Para xy usamos a regra do produto: se u(x)v(x) então (uv)'=u'v+uv'. Tomando u=x e v=y(x), tem-se u'=1 e v'=y', logo
\frac{d}{dx}(xy)=1\cdot y + x\cdot y' = y + x y'.
Multiplicando pela constante 2:
\frac{d}{dx}\bigl(2xy\bigr)=2(y + x y')=2y + 2x y'.

Passo 5

Derivando o lado direito \dfrac{d}{dx}\bigl(e^{x^{4}}\bigr): lembramos que a derivada de e^{u(x)} é e^{u(x)}\cdot u'(x) (regra da cadeia novamente). Aqui u(x)=x^{4} e u'(x)=4x^{3}. Portanto
\frac{d}{dx}\bigl(e^{x^{4}}\bigr)=e^{x^{4}}\cdot 4x^{3}=4x^{3}e^{x^{4}}.

Passo 6

Reunindo os resultados das derivadas nos dois lados, obtemos a igualdade
3y^{2}y' + 2y + 2x y' = 4x^{3}e^{x^{4}}.

Passo 7

Agora isolamos y'. Primeiro agrupamos os termos que contêm y':
(3y^{2}+2x)\,y' + 2y = 4x^{3}e^{x^{4}}.
Subtraindo 2y dos dois lados:
(3y^{2}+2x)\,y' = 4x^{3}e^{x^{4}} - 2y.
Por fim, dividindo por 3y^{2}+2x (assumindo que esse denominador não seja zero no ponto considerado), obtemos
y'=\frac{4x^{3}e^{x^{4}} - 2y}{3y^{2}+2x}.

Resposta

y'=\frac{4x^{3}e^{x^{4}} - 2y}{3y^{2}+2x}.

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