Para os objetos dados abaixo, determine a razão entre seu raio de Schwartschild,
, e seu raio conhecido. Baseado nos resultados, e lembrando que a métrica exterior de um objeto esfericamente simétrico é dada por
em qual deles os efeitos da RG são mais relevantes na superfície do objeto (isto é, em qual caso há o maior desvio em relação ao espaço plano)?
(a) Terra
(b) Júpiter
© Sol
(d) Estrela Anã Branca (1, 4 massa solar e raio da Terra)
(e) Estrela de Nêutrons (1, 4 massa solar e 10km de raio)
(a) Terra
(b) Júpiter
© Sol
(d) Estrela Anã Branca (1, 4 massa solar e raio da Terra)
(e) Estrela de Nêutrons (1, 4 massa solar e 10km de raio)
Passo 1
O enunciado pede pra calcular a razão entre o raio de Schwarzschild
e o raio físico
de cada objeto (Terra, Júpiter, Sol, anã branca e estrela de nêutrons). Vamos usar a métrica de Schwarzschild e comparar os valores de
para ver onde os efeitos relativísticos na superfície são mais fortes.
Passo 2
O raio de Schwarzschild de um corpo de massa
é dado por
onde
é a constante gravitacional e
é a velocidade da luz. Quanto maior
, maior o desvio em relação ao espaço plano na superfície.
Passo 3
Para a Terra, usamos
e
. Calculando:
Passo 4
Para Júpiter, com
e
, temos:
Passo 5
Para o Sol, com
e
, obtemos:
Passo 6
Para a anã branca de massa
(isto é,
) e raio igual ao da Terra (
), temos:
Passo 7
Para a estrela de nêutrons de massa
(mesma massa da anã branca) e raio
, o raio de Schwarzschild é o mesmo (
), logo:
Passo 8
Comparando as razões
:
Terra , Júpiter
, Sol
, anã branca
e estrela de nêutrons
. O maior valor é o da estrela de nêutrons, portanto ali os efeitos da relatividade geral na superfície são mais relevantes.
Terra
Resposta
Estrela de nêutrons.