Para os objetos dados abaixo, determine a razão entre seu raio de Schwartschild, rS, e seu raio conhecido. Baseado nos resultados, e lembrando que a métrica exterior de um objeto esfericamente simétrico é dada por
d s^2=c^2 d t^2(1-rsr)-(1-rsr)^-1 d r^2+r^2 d Omega^2
em qual deles os efeitos da RG são mais relevantes na superfície do objeto (isto é, em qual caso há o maior desvio em relação ao espaço plano)?
(a) Terra
(b) Júpiter
© Sol
(d) Estrela Anã Branca (1, 4 massa solar e raio da Terra)
(e) Estrela de Nêutrons (1, 4 massa solar e 10km de raio)

Passo 1

O enunciado pede pra calcular a razão entre o raio de Schwarzschild rs e o raio físico R de cada objeto (Terra, Júpiter, Sol, anã branca e estrela de nêutrons). Vamos usar a métrica de Schwarzschild e comparar os valores de rs/R para ver onde os efeitos relativísticos na superfície são mais fortes.

Passo 2

O raio de Schwarzschild de um corpo de massa M é dado por
rs = 2GMc^2
onde G é a constante gravitacional e c é a velocidade da luz. Quanto maior rs/R, maior o desvio em relação ao espaço plano na superfície.

Passo 3

Para a Terra, usamos Moplus = 5,97times10^24,kg e Roplus = 6,37times10^6,m. Calculando:
rs = 2cdot6,67times10^-11cdot5,97times10^24(3,0times10^8)^2 approx 8,9times10^-3,m
rsR = 8,9times10^-36,37times10^6 approx 1,4times10^-9

Passo 4

Para Júpiter, com MJ = 1,90times10^27,kg e RJ = 7,14times10^7,m, temos:
rs = 2cdot6,67times10^-11cdot1,90times10^27(3,0times10^8)^2 approx 2,8,m
rsR = 2,87,14times10^7 approx 4,0times10^-8

Passo 5

Para o Sol, com Modot = 1,99times10^30,kg e Rodot = 6,96times10^8,m, obtemos:
rs = 2cdot6,67times10^-11cdot1,99times10^30(3,0times10^8)^2 approx 2,95times10^3,m
rsR = 2,95times10^36,96times10^8 approx 4,2times10^-6

Passo 6

Para a anã branca de massa 1,4,Modot (isto é, 2,79times10^30,kg) e raio igual ao da Terra ( 6,37times10^6,m), temos:
rs = 2cdot6,67times10^-11cdot2,79times10^30(3,0times10^8)^2 approx 4,1times10^3,m
rsR = 4,1times10^36,37times10^6 approx 6,5times10^-4

Passo 7

Para a estrela de nêutrons de massa 1,4,Modot (mesma massa da anã branca) e raio R=10,km=1,0times10^4,m, o raio de Schwarzschild é o mesmo ( approx4,1times10^3,m), logo:
rsR = 4,1times10^31,0times10^4 approx 0,41

Passo 8

Comparando as razões rs/R:
Terra sim1,4times10^-9, Júpiter sim4,0times10^-8, Sol sim4,2times10^-6, anã branca sim6,5times10^-4 e estrela de nêutrons sim0,41. O maior valor é o da estrela de nêutrons, portanto ali os efeitos da relatividade geral na superfície são mais relevantes.

Resposta

Estrela de nêutrons.

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