Determine os pontos (x0, y0) para os quais podemos garantir que o problema de valor inicial,
y^prime(x)=f(x, y(x)), y(x0)=y0
tem uma solução.
f(x, y)=raizy^2-4,

Passo 1

O enunciado trata do problema de valor inicial
y'(x)=f(x,y(x)), y(x0)=y0
com
f(x,y)=raizy^2-4
Queremos usar o Teorema de Picard–Lindelöf, que garante existência e unicidade local se f e partial f/partial y forem contínuas num retângulo em (x0,y0).

Passo 2

Primeiro achamos o domínio de f. Como
f(x,y)=raizy^2-4
só faz sentido real quando
y^2-4>=0Long<=ftrightarrow |y|>=2
Logo o domínio de f é
D=(x,y)mid |y|>=2,
e ali f é contínua em x e em y.

Passo 3

Agora calculamos a derivada parcial em y:
partial fpartial y =partialpartial yraizy^2-4 =yraizy^2-4
Esse quociente só é bem definido e contínuo se raizy^2-4neq0, isto é, quando
y^2-4>0Long<=ftrightarrow|y|>2
Portanto partial f/partial y é contínua em
D'=(x,y)mid|y|>2

Passo 4

Para aplicar o Teorema de Picard–Lindelöf precisamos de um retângulo centrado em (x0,y0) contido em D', de modo que f e partial f/partial y sejam contínuas lá. Isso só ocorre se
|y0|>2,
pois se |y0|=2 não existe nenhum retângulo aberto ao redor de (x0,y0) inteiramente dentro de D'.

Resposta

Podemos garantir existência e unicidade local da solução sempre que
|y0|>2

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