Determine os pontos
para os quais podemos garantir que o problema de valor inicial,
tem uma solução.
,
Passo 1
O enunciado trata do problema de valor inicial
com
Queremos usar o Teorema de Picard–Lindelöf, que garante existência e unicidade local se
e
forem contínuas num retângulo em
.
Passo 2
Primeiro achamos o domínio de
. Como
só faz sentido real quando
Logo o domínio de
é
e ali
é contínua em
e em
.
Passo 3
Agora calculamos a derivada parcial em
:
Esse quociente só é bem definido e contínuo se
, isto é, quando
Portanto
é contínua em
Passo 4
Para aplicar o Teorema de Picard–Lindelöf precisamos de um retângulo centrado em
contido em
, de modo que
e
sejam contínuas lá. Isso só ocorre se
pois se
não existe nenhum retângulo aberto ao redor de
inteiramente dentro de
.
Resposta
Podemos garantir existência e unicidade local da solução sempre que