Derive em relação à variável dada:
h(t)=tg(t1+t^2);

Passo 1

O enunciado nos pede para derivar em relação a t a função
h(t)=tan!l(t1+t^2r)
Aqui vamos usar a regra do quociente para derivar t1+t^2 e a regra da cadeia para derivar tan.

Passo 2

Definimos
u(t)=t1+t^2,
de modo que
h(t)=tanl(u(t)r)

Passo 3

Aplicamos a regra do quociente para achar u'(t). Derivando numerador e denominador temos
u'(t) =(1+t^2)cdot 1 - tcdot (2t)(1+t^2)^2 =1 + t^2 - 2t^2(1+t^2)^2 =1 - t^2(1+t^2)^2

Passo 4

Agora usamos a regra da cadeia para h(t)=tan(u(t)). Como ddutan(u)=sec^2(u), obtemos
h'(t) =sec^2l(u(t)r),cdot u'(t) =sec^2!l(t1+t^2r),cdot1 - t^2(1+t^2)^2

Resposta

h'(t) =1 - t^2(1+t^2)^2;sec^2!l(t1+t^2r)

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