Determine os pontos (x0, y0) para os quais podemos garantir que o problema de valor inicial,
y^prime(x)=f(x, y(x)), y(x0)=y0
tem uma solução.
f(x, y)=raizx y,

Passo 1

Estamos diante do problema de valor inicial
y'(x)=f(x,y)=raizx,y, y(x0)=y0
Para garantir a existência de solução local basta usar o Teorema de Peano (f contínua num vizinhança de (x0,y0)). Para garantir existência e unicidade simultaneamente, usamos o Teorema de Picard–Lindelöf (f e partial f/partial y contínuas).

Passo 2

Determinamos o domínio de f. A função
f(x,y)=raizx,y
está bem definida (real e contínua) se, e somente se,
x,y>=0
Logo, em qualquer ponto (x0,y0) tal que x0y0>=0, f é contínua e o Teorema de Peano garante pelo menos uma solução local.

Passo 3

Para verificar a unicidade pelo critério de Lipschitz em y, calculamos
partial fpartial y =partialpartial yl(x,yr)^1/2 =12(x,y)^-1/2,x =x2raizx,y
Esse derivado fica contínuo apenas se x,y>0. Portanto, quando x0y0>0, f é localmente Lipschitz em y e o Teorema de Picard–Lindelöf garante solução única.

Resposta

Existência de pelo menos uma solução está garantida para todos os (x0,y0) tais que
x0,y0>=0
Se quisermos ainda unicidade, devemos restringir a
x0,y0>0,
pois aí partial f/partial y é contínua numa vizinhança de (x0,y0).

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