Determine os pontos
para os quais podemos garantir que o problema de valor inicial,
tem uma solução.
,
Passo 1
Estamos diante do problema de valor inicial
Para garantir a existência de solução local basta usar o Teorema de Peano (f contínua num vizinhança de
). Para garantir existência e unicidade simultaneamente, usamos o Teorema de Picard–Lindelöf (f e
contínuas).
Passo 2
Determinamos o domínio de
. A função
está bem definida (real e contínua) se, e somente se,
Logo, em qualquer ponto
tal que
,
é contínua e o Teorema de Peano garante pelo menos uma solução local.
Passo 3
Para verificar a unicidade pelo critério de Lipschitz em
, calculamos
Esse derivado fica contínuo apenas se
. Portanto, quando
,
é localmente Lipschitz em
e o Teorema de Picard–Lindelöf garante solução única.
Resposta
Existência de pelo menos uma solução está garantida para todos os
tais que
Se quisermos ainda unicidade, devemos restringir a
pois aí
é contínua numa vizinhança de
.