Encontre a área da superfície representada pela fórmula implícita plano x+y+z=5 e limitada pelo cilindro x^2+y^2=4.

Passo 1

O enunciado pede a área da porção do plano
x+y+z=5
limitada pelo cilindro
x^2+y^2=4
O conteúdo é cálculo de área de superfície de gráfico z=f(x,y). Vamos usar a fórmula
S=integral duplaDraiz1+fx^2+fy^2,dA,
onde D é a projeção dessa superfície no plano xy.

Passo 2

Reescrevendo o plano como função:
z=f(x,y)=5-x-y,
e a região de projeção é
D=(x,y)mid x^2+y^2<=4
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S=integral duplaDraiz1+l(fxr)^2+l(fyr)^2,dA

Passo 3

Calculamos as derivadas:
fx=-1, fy=-1
portanto o fator dentro da raiz é constante:
raiz1+(-1)^2+(-1)^2=raiz3

Passo 4

Em coordenadas polares (r,theta), D é 0<= r<=2, 0<=theta<=2pi e dA=r,dr,dtheta. Assim
S =raiz3integral0^2pi!integral0^2r,dr,dtheta =raiz3,l(2picdottfrac2^22r) =4piraiz3

Resposta

A área da superfície é 4piraiz3.

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