Derive em relação à variável dada:
g(x)=2 cos (raizx^2+4 x);

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
g(x)=2cosl(raizx^2+4xr)
O conteúdo principal aqui é a regra da cadeia, pois temos uma composição de funções: g(x)=2cdotcos(u(x)) com u(x)=raizx^2+4x.

Passo 2

Aplicamos a derivada da função externa 2cos(u). Se h(u)=2cos(u), então
h'(u) = 2cdot(-sin(u)) = -2sin(u)
Pela regra da cadeia,
g'(x) = h'l(u(x)r)cdot u'(x) = -2sinl(raizx^2+4xr),cdot u'(x)

Passo 3

Agora derivamos u(x)=raizv(x) com v(x)=x^2+4x. Sabemos que
ddxraizv = v'2raizv e v'(x)=2x+4=2(x+2)
Logo,
u'(x)=2(x+2)2raizx^2+4x =x+2raizx^2+4x

Passo 4

Substituindo u'(x) em g'(x), obtemos
g'(x) =-2sinl(raizx^2+4xr),x+2raizx^2+4x =-2(x+2)raizx^2+4x;sinl(raizx^2+4xr)

Resposta

g'(x)=-2(x+2)raizx^2+4x;sinl(raizx^2+4xr)

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