Resolva as seguintes e.d.o de segunda a ordem através de uma substituição que permita reduzir a ordem da equação:
y^prime prime+(y^prime)^2=0,

Passo 1

O enunciado nos pede para resolver a equação diferencial de segunda ordem
y'' + l(y'r)^2 = 0
utilizando uma substituição que reduza a ordem da equação. Trata-se de um ODE de segunda ordem que, ao definir p = y', vira uma equação de primeira ordem em p(x).

Passo 2

Fazemos a substituição
p = y' = dydx,
assim
dpdx = y''
Substituindo em y'' + (y')^2 = 0 obtemos
dpdx + p^2 = 0,
que é uma equação de primeira ordem, separável em p.

Passo 3

Separamos variáveis em
dpdx = -,p^2 Longrightarrow dpp^2 = -,dx
e integramos ambos os lados:
integral dpp^2 = integral -,dx Longrightarrow -,1p = -,x + C1
Reorganizando,
1p = x + A Longrightarrow p = 1x + A,
onde A=-C1 é constante arbitrária.

Passo 4

Voltando a p = y', temos
dydx = 1x + A
Integramos em x:
y(x) = integral 1x + A,dx = lnl|x + Ar| + B,
com B constante de integração.

Resposta

A solução geral é
y(x) = lnl|x + C1r| + C2,
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

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