Derive em relação à variável dada:
y=x tg(3 x)x^2+4;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de
y = x tan(3x)x^2 + 4
em relação a x. Vamos usar a regra do quociente, a regra do produto e a regra da cadeia para funções trigonométricas.

Passo 2

Definimos
u(x) = x ,tan(3x), v(x) = x^2 + 4
Pela regra do quociente,
y' = u'(x),v(x) - u(x),v'(x)[v(x)]^2

Passo 3

Calculamos u'(x) usando a regra do produto e a regra da cadeia:
u(x) = x ,tan(3x) ;Longrightarrow; u'(x) = 1cdottan(3x) + xcdotddxl[tan(3x)r] = tan(3x) + xcdotsec^2(3x)cdot 3 = tan(3x) + 3x,sec^2(3x)

Passo 4

Calculamos v'(x):
v(x) = x^2 + 4 ;Longrightarrow; v'(x) = 2x

Passo 5

Substituindo na fórmula do quociente, obtemos
y' = l[tan(3x) + 3x,sec^2(3x)r],(x^2+4) - l[x,tan(3x)r],(2x)(x^2+4)^2

Passo 6

Agora simplificamos o numerador. Primeiro expandimos:
(tan(3x))(x^2+4) - 2x^2tan(3x) + 3x(x^2+4)sec^2(3x)
Agrupando termos em tan(3x):
[x^2+4 - 2x^2]tan(3x) + 3x(x^2+4)sec^2(3x) = (4 - x^2)tan(3x) + 3x(x^2+4)sec^2(3x)
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y' = (4 - x^2)tan(3x) + 3x(x^2+4)sec^2(3x)(x^2+4)^2

Resposta

y' = (4 - x^2)tan(3x) + 3x(x^2+4)sec^2(3x)(x^2+4)^2

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