Encontre a área da superfície
que está acima do triângulo limitado pelas retas
no plano xy.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área da superfície definida pela equação
que está acima de um triângulo no plano xy. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo de áreas de superfícies e integrais duplas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a superfície que a gente tem. A equação
pode ser rearranjada para
. Essa é uma superfície plana no espaço tridimensional.
Passo 3
Agora, precisamos identificar a região no plano xy sobre a qual queremos calcular a área. O triângulo é limitado pelas retas
. Isso significa que x vai de 0 a 2 e, para cada x, y vai de 0 até x. Visualmente, é um triângulo com vértices em (0,0), (2,0) e (2,2).
Passo 4
Para calcular a área da superfície
sobre essa região, usamos a fórmula da área de uma superfície parametrizada por
:
Passo 5
Vamos calcular as derivadas parciais de z em relação a x e a y:
Passo 6
Substituindo essas derivadas na fórmula da área:
Passo 7
Como
é constante, podemos tirá-la da integral:
Ou seja, a área que a gente quer é
vezes a área do triângulo D.
Passo 8
Vamos calcular a área do triângulo D. Sabemos que a base do triângulo vai de x = 0 a x = 2, e a altura para cada x é y = x. Então, a área de D é:
Passo 9
Finalmente, substituindo de volta na expressão da área da superfície:
Resposta
A área da superfície é
.