Encontre a área da superfície x+y+z=4 que está acima do triângulo limitado pelas retas Dx y=(x, y) mid 0 <= x <= 2 e 0 <= y <= x no plano xy.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área da superfície definida pela equação x + y + z = 4 que está acima de um triângulo no plano xy. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo de áreas de superfícies e integrais duplas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a superfície que a gente tem. A equação x + y + z = 4 pode ser rearranjada para z = 4 - x - y . Essa é uma superfície plana no espaço tridimensional.

Passo 3

Agora, precisamos identificar a região no plano xy sobre a qual queremos calcular a área. O triângulo é limitado pelas retas Dxy = (x, y) mid 0 <= x <= 2 e 0 <= y <= x . Isso significa que x vai de 0 a 2 e, para cada x, y vai de 0 até x. Visualmente, é um triângulo com vértices em (0,0), (2,0) e (2,2).

Passo 4

Para calcular a área da superfície z = 4 - x - y sobre essa região, usamos a fórmula da área de uma superfície parametrizada por z = f(x,y) :
Área = integral duplaD raiz1 + ( partial zpartial x )^2 + ( partial zpartial y )^2 , dx , dy Á

Passo 5

Vamos calcular as derivadas parciais de z em relação a x e a y:
partial zpartial x = -1 e partial zpartial y = -1

Passo 6

Substituindo essas derivadas na fórmula da área:
Área = integral duplaD raiz1 + (-1)^2 + (-1)^2 , dx , dy = integral duplaD raiz1 + 1 + 1 , dx , dy = integral duplaD raiz3 , dx , dy Á

Passo 7

Como raiz3 é constante, podemos tirá-la da integral:
Área = raiz3 integral duplaD , dx , dy Á
Ou seja, a área que a gente quer é raiz3 vezes a área do triângulo D.

Passo 8

Vamos calcular a área do triângulo D. Sabemos que a base do triângulo vai de x = 0 a x = 2, e a altura para cada x é y = x. Então, a área de D é:
Área de D = 12 times base times a<ura = 12 times 2 times 2 = 2 Á

Passo 9

Finalmente, substituindo de volta na expressão da área da superfície:
Área = raiz3 times 2 = 2raiz3 Á

Resposta

A área da superfície é 2raiz3 .

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