Encontre a equação da reta tangente à função f(x)=x^2+raizx+2 no ponto x=2

Passo 1

O enunciado pede a equação da reta tangente à função f(x)=x^2+raizx+2 no ponto onde x=2. Para isso precisamos de dois ingredientes: o valor de f(2), que dá o ponto de contato, e o valor de f'(2), que é a inclinação (coeficiente angular) da reta tangente.

Passo 2

Calculamos primeiro o valor de f em x=2:
f(2)=2^2+raiz2+2=4+raiz4=4+2=6
Logo o ponto de tangência é l(2,6r).

Passo 3

Agora determinamos a derivada f'(x). Como ddx(x^2)=2x e
ddxl(raizx+2r) =ddxl((x+2)^1/2r) =tfrac12(x+2)^-1/2cdot1 =12raizx+2,
temos
f'(x)=2x+12raizx+2

Passo 4

Avaliamo f'(x) em x=2:
f'(2)=2cdot2+12raiz2+2 =4+12raiz4 =4+12cdot2 =4+14 =164+14 =174
Portanto a reta tangente tem coeficiente angular m=tfrac174.

Passo 5

Usamos a forma ponto-inclinação da reta:
y - y0=m,(x-x0),
onde l(x0,y0r)=(2,6) e m=tfrac174. Assim,
y-6=174(x-2)
Para escrever em forma y=mx+b, desenvolvemos:
y=174,x-174cdot2+6 =174,x-172+6 =174,x-172+122 =174,x-52

Resposta

A equação da reta tangente é
y=174,x-52

Exercícios relacionados