(ITA/2000) Seja f(x)=sumn=0^20 20!n!(20-n)! x^n uma função real de variável real em que n ! indica o fatorial de n. considere as afirmações:
I. f(1)=2.
II. f(-1)=0.
III. f(-2)=1.
Podemos concluir que:
a) Somente as afirmações I e II são verdadeiras.
b) Somente as afirmações II e III são verdadeiras.
c) Apenas a afirmação I é verdadeira.
d) Apenas a afirmação II é verdadeira.
e) Apenas a afirmação III é verdadeira.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)=sumn=0^20binom20nx^n
e pede para verificar quais das afirmações abaixo são verdadeiras:
I. ;f(1)=2.
II. ;f(-1)=0.
III. ;f(-2)=1.
O conteúdo principal aqui é o Teorema do Binômio de Newton, que nos permite reescrever essa soma como uma potência.

Passo 2

Pelo Teorema do Binômio de Newton, temos
sumn=0^20binom20nx^n = (1+x)^20
Logo,
f(x)=(1+x)^20

Passo 3

Calculando f(1):
f(1) = (1+1)^20 = 2^20,
que é muito maior que 2. Portanto a afirmação I é falsa.

Passo 4

Calculando f(-1):
f(-1) = (1-1)^20 = 0^20 = 0
Isso confirma que a afirmação II é verdadeira.

Passo 5

Calculando f(-2):
f(-2) = (1-2)^20 = (-1)^20 = 1
Portanto a afirmação III também é verdadeira.

Passo 6

Concluímos que apenas as afirmações II e III são verdadeiras.

Resposta

b)

Exercícios relacionados