Derive as seguintes funções:
h(x)=\ln \left(x^{2} e^{x}\right)

Passo 1

O enunciado dá a função h(x)=\ln\!\bigl(x^{2} e^{x}\bigr) e pede para derivá‑la, ou seja, encontrar h'(x). Informações que temos do enunciado:
  • A função é h(x)=\ln\!\bigl(x^{2} e^{x}\bigr).
  • Lembre que o logaritmo natural exige argumento positivo, então o domínio real dessa expressão é x\neq 0 (porque x^{2}e^{x}>0 para todo x\neq0).

Passo 2

Vamos simplificar a expressão dentro do logaritmo usando propriedades dos logaritmos. Regra útil:
\ln(ab)=\ln a+\ln b,
válida sempre que a>0 e b>0. Aplicando a h(x):
h(x)=\ln\!\bigl(x^{2} e^{x}\bigr)=\ln\!(x^{2})+\ln\!(e^{x}).

Passo 3

Agora simplificamos cada termo. Para \ln(e^{x}) usamos que \ln(e^{x})=x. Para \ln(x^{2}) é importante lembrar que
\ln(x^{2})=2\ln|x|,
porque x^{2}=(|x|)^{2} e o logaritmo de potência dá esse fator 2; o valor absoluto aparece para garantir que o argumento do \ln seja positivo. Assim:
h(x)=2\ln|x|+x.

Passo 4

Antes de derivar, confirmar domínio: a expressão 2\ln|x|+x está definida para x\neq0, em concordância com o domínio original. Portanto todas as próximas operações valem para x\neq0.

Passo 5

Vamos lembrar as regras de derivação que usaremos:
  • Derivada da soma: \dfrac{d}{dx}\bigl(u+v\bigr)=u'+v'.
  • Derivada de x é 1.
  • Derivada de \ln|x| é \dfrac{1}{x} para x\neq0. Explicando por que: para x>0 tem-se \ln|x|=\ln x e \dfrac{d}{dx}\ln x=\dfrac{1}{x}; para x<0 tem-se \ln|x|=\ln(-x) e aplicando regra da cadeia \dfrac{d}{dx}\ln(-x)=\dfrac{1}{-x}\cdot(-1)=\dfrac{1}{x}. Assim, de forma unificada, \dfrac{d}{dx}\ln|x|=\dfrac{1}{x} para x\neq0.

Passo 6

Agora derivamos termo a termo a expressão h(x)=2\ln|x|+x.
Aplicando as regras:
\frac{d}{dx}\bigl(2\ln|x|\bigr)=2\cdot\frac{d}{dx}\ln|x|=2\cdot\frac{1}{x}=\frac{2}{x},
\frac{d}{dx}(x)=1.
Somando:
h'(x)=\frac{2}{x}+1\quad\text{para }x\neq0.

Passo 7

(Verificação alternativa) — quem prefere não usar a simplificação com \ln|x| pode aplicar a regra geral de derivada do logaritmo: \dfrac{d}{dx}\ln u=\dfrac{u'}{u}. Tomando u(x)=x^{2}e^{x} tem-se
u'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}e^{x}\bigr)=2x e^{x}+x^{2}e^{x}=e^{x}(2x+x^{2}).
Então
h'(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}=\frac{e^{x}(2x+x^{2})}{x^{2}e^{x}}=\frac{2x+x^{2}}{x^{2}}=\frac{2}{x}+1,
obtendo exatamente o mesmo resultado e reforçando que a derivada é correta para x\neq0.

Resposta

h'(x)=\dfrac{2}{x}+1,\quad x\neq 0

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