Derive as seguintes funções:
h(x)=\ln \left(x^{2} e^{x}\right)
h(x)=\ln \left(x^{2} e^{x}\right)
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para derivá‑la, ou seja, encontrar
. Informações que temos do enunciado:
- A função é
. - Lembre que o logaritmo natural exige argumento positivo, então o domínio real dessa expressão é
(porque para todo ).
Passo 2
Vamos simplificar a expressão dentro do logaritmo usando propriedades dos logaritmos. Regra útil:
válida sempre que
e
. Aplicando a
:
Passo 3
Agora simplificamos cada termo. Para
usamos que
. Para
é importante lembrar que
porque
e o logaritmo de potência dá esse fator 2; o valor absoluto aparece para garantir que o argumento do
seja positivo. Assim:
Passo 4
Antes de derivar, confirmar domínio: a expressão
está definida para
, em concordância com o domínio original. Portanto todas as próximas operações valem para
.
Passo 5
Vamos lembrar as regras de derivação que usaremos:
- Derivada da soma:
. - Derivada de
é . - Derivada de
é para . Explicando por que: para tem-se e ; para tem-se e aplicando regra da cadeia . Assim, de forma unificada, para .
Passo 6
Agora derivamos termo a termo a expressão
.
Aplicando as regras:
Aplicando as regras:
Somando:
Passo 7
(Verificação alternativa) — quem prefere não usar a simplificação com
pode aplicar a regra geral de derivada do logaritmo:
. Tomando
tem-se
Então
obtendo exatamente o mesmo resultado e reforçando que a derivada é correta para
.