Derive as seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
Informações dadas e objetivo:
- A função é composta por duas parcelas:
e . - A tarefa é encontrar
, a derivada de . - Observação inicial sobre domínio: a expressão
exige que ; isto será importante para a existência da derivada.
Passo 2
Regras e fórmulas que vamos usar (explicadas de forma simples):
- Regra da soma/linha: a derivada da soma (ou diferença) é a soma (ou diferença) das derivadas. Ou seja, se
então . - Regra do fator constante: se há um número constante multiplicando uma função, ele sai da derivada:
, onde é constante. - Derivada da exponencial:
. Isso significa que a função exponencial é sua própria derivada. - Regra da potência (power rule): para
real, . Isto vale em particular para .
Vou aplicar essas regras passo a passo. Relaxe que não tem pegadinha escondida — é aplicação direta dessas regras.
Passo 3
Reescrevendo a raiz como potência:
Assim a função fica mais fácil de derivar:
Passo 4
Derivada da primeira parcela
:
- Há um fator constante
, então ele sai da derivada. - Sabendo que
, temos
Explicação curta: multiplicar por
não muda a forma, só escala a derivada.
Passo 5
Derivada da segunda parcela
:
- Aplicando a regra da potência com
:
- Convertendo para raiz para ficar mais íntimo:
- Como a parcela original tem sinal negativo, a derivada desta parcela é
Passo 6
Somando as derivadas das duas parcelas (regra da soma/diferença):
Essa é a expressão simplificada da derivada.
Passo 7
Domínio e comentários finais (importante para a prova):
- A função original
está definida para . - A expressão encontrada para
contém , que só faz sentido para . Portanto existe e é dada por cima apenas para . - No ponto
a derivada não existe, porque o termo diverge (fica infinito) — além disso, não está definida para , então não há derivada à esquerda em . - Exemplo numérico rápido para ganhar confiança: em
,
Força aí — é só aplicar as regras básicas em cadeia.