Derive as seguintes funções:
f(x)=\frac{e^{x}}{5}-\sqrt{x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
f(x)=\frac{e^{x}}{5}-\sqrt{x}.
Informações dadas e objetivo:
  • A função é composta por duas parcelas: \dfrac{e^{x}}{5} e -\sqrt{x}.
  • A tarefa é encontrar f'(x), a derivada de f.
  • Observação inicial sobre domínio: a expressão \sqrt{x} exige que x\ge 0; isto será importante para a existência da derivada.

Passo 2

Regras e fórmulas que vamos usar (explicadas de forma simples):
  • Regra da soma/linha: a derivada da soma (ou diferença) é a soma (ou diferença) das derivadas. Ou seja, se g(x)=u(x)+v(x) então g'(x)=u'(x)+v'(x).
  • Regra do fator constante: se há um número constante multiplicando uma função, ele sai da derivada: \dfrac{d}{dx}[c\cdot h(x)]=c\cdot h'(x), onde c é constante.
  • Derivada da exponencial: \dfrac{d}{dx}e^{x}=e^{x}. Isso significa que a função exponencial é sua própria derivada.
  • Regra da potência (power rule): para n real, \dfrac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}. Isto vale em particular para n=\tfrac{1}{2}.
Vou aplicar essas regras passo a passo. Relaxe que não tem pegadinha escondida — é aplicação direta dessas regras.

Passo 3

Reescrevendo a raiz como potência:
\sqrt{x}=x^{\tfrac{1}{2}}.
Assim a função fica mais fácil de derivar:
f(x)=\frac{e^{x}}{5}-x^{\tfrac{1}{2}}.

Passo 4

Derivada da primeira parcela \dfrac{e^{x}}{5}:
  • Há um fator constante \dfrac{1}{5}, então ele sai da derivada.
  • Sabendo que \dfrac{d}{dx}e^{x}=e^{x}, temos
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{e^{x}}{5}\right)=\frac{1}{5}\cdot\frac{d}{dx}e^{x}=\frac{1}{5}\,e^{x}=\frac{e^{x}}{5}.
Explicação curta: multiplicar por 1/5 não muda a forma, só escala a derivada.

Passo 5

Derivada da segunda parcela -x^{\tfrac{1}{2}}:
  • Aplicando a regra da potência com n=\tfrac{1}{2}:
\frac{d}{dx}x^{\tfrac{1}{2}}=\tfrac{1}{2}x^{\tfrac{1}{2}-1}=\tfrac{1}{2}x^{-\tfrac{1}{2}}.
  • Convertendo para raiz para ficar mais íntimo:
\tfrac{1}{2}x^{-\tfrac{1}{2}}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{\sqrt{x}}=\frac{1}{2\sqrt{x}}.
  • Como a parcela original tem sinal negativo, a derivada desta parcela é
-\frac{1}{2\sqrt{x}}.

Passo 6

Somando as derivadas das duas parcelas (regra da soma/diferença):
f'(x)=\frac{e^{x}}{5}-\frac{1}{2\sqrt{x}}.
Essa é a expressão simplificada da derivada.

Passo 7

Domínio e comentários finais (importante para a prova):
  • A função original f está definida para x\ge 0.
  • A expressão encontrada para f'(x) contém \dfrac{1}{\sqrt{x}}, que só faz sentido para x>0. Portanto f'(x) existe e é dada por cima apenas para x>0.
  • No ponto x=0 a derivada não existe, porque o termo \dfrac{1}{2\sqrt{x}} diverge (fica infinito) — além disso, f não está definida para x<0, então não há derivada à esquerda em 0.
  • Exemplo numérico rápido para ganhar confiança: em x=1,
f'(1)=\frac{e^{1}}{5}-\frac{1}{2}=\frac{e}{5}-\frac{1}{2}.
Força aí — é só aplicar as regras básicas em cadeia.

Resposta

f'(x)=\frac{e^{x}}{5}-\frac{1}{2\sqrt{x}}
x>0

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