Derive as seguintes funções:
f(x)=\sqrt[4]{1+2 x+x^{3}}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\sqrt[4]{1+2x+x^3}
Este é um caso de função composta: podemos ver
f(x)=\bigl(g(x)\bigr)^{\frac14},\quad g(x)=1+2x+x^3.
Para derivar, vamos usar a regra da cadeia, isto é, derivar a “externa” u^{1/4} em função de u e multiplicar pela derivada de g(x).

Passo 2

Calculamos a derivada de
g(x)=1+2x+x^3.
Usando a soma de derivadas e a regra do poder, obtemos
g'(x)=0+2+3x^2=2+3x^2.

Passo 3

Agora aplicamos a regra da cadeia à função
f(x)=\bigl(g(x)\bigr)^{\frac14}.
A derivada de u^{\frac14} em relação a u é
\frac{d}{du}\bigl(u^{\tfrac14}\bigr)=\tfrac14\,u^{-\tfrac34}.
Portanto,
f'(x)=\tfrac14\,\bigl(g(x)\bigr)^{-\tfrac34}\cdot g'(x).

Passo 4

Substituindo g(x)=1+2x+x^3 e g'(x)=2+3x^2, temos
f'(x) =\frac14\,(1+2x+x^3)^{-\tfrac34}\,(2+3x^2) =\frac{2+3x^2}{4\,(1+2x+x^3)^{\tfrac34}}.

Resposta

f'(x)=\frac{2+3x^2}{4\,(1+2x+x^3)^{3/4}}

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