Derive as seguintes funções:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede que se calcule a derivada desta função, isto é,
. Observação importante: a função está definida para
.
Passo 2
Vamos simplificar a escrita da função para aplicar regras de derivação mais diretas. Uma fração com potência no denominador pode ser escrita como potência negativa no numerador. Assim:
Explicando isso: mover
do denominador para o numerador troca o sinal do expoente, ficando
. Isso facilita porque conhecemos uma regra simples para potências.
Passo 3
Apresento duas regras que vou usar (explicadas devagar, pra não ter dúvida):
- Regra do fator constante: se
é constante e é função, então . Ou seja, podemos “fazer sair” a constante e derivar só a parte que depende de . - Regra da potência (caso básico): para qualquer número real
,
Aqui
é a variável e
é o expoente. Exemplo rápido:
.
Passo 4
Agora aplico as regras à nossa função
.
- Pela regra do fator constante, mantenho o
e derivo :
- Uso a regra da potência com
:
- Multiplicando pelo
:
Passo 5
Escrevo a resposta em forma de fração, que costuma ficar mais confortável:
Lembrando a restrição de domínio: esta expressão só vale para
.
Passo 6
Para confirmar (e como dica para a prova), mostro rapidamente que se usar a regra do quociente chega-se ao mesmo resultado. A regra do quociente diz que, para
,
Aqui
(então
) e
(então
). Substituindo:
o que confirma
.
Passo 7
Resumo prático e dica de prova: quando tiver uma constante sobre potência de
, escreva como constante vezes
com expoente negativo e aplique a regra da potência; é rápido e evita contas desnecessárias.