Derive as seguintes funções:
g(x)=\frac{2}{x^{4}}\

Passo 1

O enunciado dá a função
g(x)=\frac{2}{x^{4}}
e pede que se calcule a derivada desta função, isto é, g'(x). Observação importante: a função está definida para x\neq 0.

Passo 2

Vamos simplificar a escrita da função para aplicar regras de derivação mais diretas. Uma fração com potência no denominador pode ser escrita como potência negativa no numerador. Assim:
g(x)=\frac{2}{x^{4}}=2x^{-4}.
Explicando isso: mover x^{4} do denominador para o numerador troca o sinal do expoente, ficando x^{-4}. Isso facilita porque conhecemos uma regra simples para potências.

Passo 3

Apresento duas regras que vou usar (explicadas devagar, pra não ter dúvida):
  • Regra do fator constante: se c é constante e f(x) é função, então \dfrac{d}{dx}\big(c\cdot f(x)\big)=c\cdot f'(x). Ou seja, podemos “fazer sair” a constante e derivar só a parte que depende de x.
  • Regra da potência (caso básico): para qualquer número real n,
\frac{d}{dx}\big(x^{n}\big)=n\,x^{n-1}.
Aqui x é a variável e n é o expoente. Exemplo rápido: \dfrac{d}{dx}(x^{3})=3x^{2}.

Passo 4

Agora aplico as regras à nossa função g(x)=2x^{-4}.
  1. Pela regra do fator constante, mantenho o 2 e derivo x^{-4}:
g'(x)=2\cdot\frac{d}{dx}\big(x^{-4}\big).
  1. Uso a regra da potência com n=-4:
\frac{d}{dx}\big(x^{-4}\big)=(-4)\,x^{-5}.
  1. Multiplicando pelo 2:
g'(x)=2\cdot\big((-4)\,x^{-5}\big)=-8\,x^{-5}.

Passo 5

Escrevo a resposta em forma de fração, que costuma ficar mais confortável:
-8\,x^{-5}=-\frac{8}{x^{5}}.
Lembrando a restrição de domínio: esta expressão só vale para x\neq 0.

Passo 6

Para confirmar (e como dica para a prova), mostro rapidamente que se usar a regra do quociente chega-se ao mesmo resultado. A regra do quociente diz que, para h(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)},
h'(x)=\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v(x)^{2}}.
Aqui u(x)=2 (então u'(x)=0) e v(x)=x^{4} (então v'(x)=4x^{3}). Substituindo:
g'(x)=\frac{0\cdot x^{4}-2\cdot 4x^{3}}{(x^{4})^{2}}=\frac{-8x^{3}}{x^{8}}=-8x^{-5},
o que confirma -8x^{-5}=-\dfrac{8}{x^{5}}.

Passo 7

Resumo prático e dica de prova: quando tiver uma constante sobre potência de x, escreva como constante vezes x com expoente negativo e aplique a regra da potência; é rápido e evita contas desnecessárias.

Resposta

-\dfrac{8}{x^{5}}

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