Utilizando a regra da função composta, obtenha a derivada de cada função:
F(x)=\operatorname{sen}^{n} x\left(n \in N^{*}\right)

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função \,F(x)=\operatorname{sen}^{n}x com n\in\mathbb{N}^{*} (ou seja, n é um inteiro positivo).
Informações fornecidas:
  • A função é dada por \,F(x)=\big(\operatorname{sen}x\big)^{n}.
  • O objetivo é calcular \,F'(x).

Passo 2

Reescrever a função como uma composição ajuda a aplicar a regra adequada. Defina
u(x)=\operatorname{sen}x, \qquad f(t)=t^{n},
então a função original pode ser vista como a composição
F(x)=f\big(u(x)\big).
Aqui t é uma variável intermediária (ou seja, f é a função potência aplicada a t) e u é a função seno aplicada a x.

Passo 3

Apresentar a regra da cadeia (função composta) de forma direta e clara. Se \,F(x)=f\big(u(x)\big) e as derivadas existem, então
F'(x)=f'\big(u(x)\big)\cdot u'(x).
Explicando devagar: f'\big(u(x)\big) é a derivada de f calculada no valor u(x), e depois multiplica-se pela derivada de u em relação a x, que é u'(x). É como “derivar por fora” e depois “por dentro”.

Passo 4

Derivar a função exterior f(t)=t^{n}. Para n\in\mathbb{N}^{*} vale a regra da potência:
f'(t)=n\,t^{\,n-1}.
Justificação curta e intuitiva (para n inteiro positivo): ao calcular \dfrac{(t+h)^{n}-t^{n}}{h} e usar o teorema binomial, o termo linear em h é n t^{n-1}h; dividindo por h e fazendo h\to0 sobra n t^{n-1}. Portanto a fórmula acima é válida e é a que usaremos.

Passo 5

Derivar a função interior u(x)=\operatorname{sen}x. A derivada conhecida e demonstrável por limites é
u'(x)=\frac{d}{dx}\operatorname{sen}x=\cos x.
Breve explicação do porquê: usando a identidade de soma de seno e os limites fundamentais \lim_{h\to0}\dfrac{\sin h}{h}=1 e \lim_{h\to0}\dfrac{\cos h-1}{h}=0, obtém-se \dfrac{d}{dx}\sin x=\cos x. Assim, a derivada do seno é o cosseno.

Passo 6

Agora aplicar a regra da cadeia com os resultados dos passos anteriores. Usando f'(t)=n t^{n-1} e u'(x)=\cos x, obtemos
F'(x)=f'\big(u(x)\big)\cdot u'(x)=n\big(u(x)\big)^{\,n-1}\cdot\cos x.
Substituindo u(x)=\operatorname{sen}x fica
F'(x)=n\,\operatorname{sen}^{\,n-1}x\;\cos x.

Passo 7

Interpretando e dando exemplos rápidos para fixar:
  • Se n=1, \,F(x)=\operatorname{sen}x e \,F'(x)=\cos x (confere).
  • Se n=2, \,F(x)=\operatorname{sen}^{2}x e \,F'(x)=2\operatorname{sen}x\cos x (que é igual a \sin 2x).
  • Se n=3, \,F'(x)=3\operatorname{sen}^{2}x\cos x.
    Pratique alguns casos assim para ficar confortável com a aplicação da regra da cadeia — é a mesma ideia para qualquer n.

Resposta

F'(x)=n\,\operatorname{sen}^{\,n-1}x\cos x

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