Utilizando a regra da função composta, obtenha a derivada de cada função:
Passo 1
O enunciado pede a derivada da função
com
(ou seja,
é um inteiro positivo).
Informações fornecidas:
Informações fornecidas:
- A função é dada por
. - O objetivo é calcular
.
Passo 2
Reescrever a função como uma composição ajuda a aplicar a regra adequada. Defina
então a função original pode ser vista como a composição
Aqui
é uma variável intermediária (ou seja,
é a função potência aplicada a
) e
é a função seno aplicada a
.
Passo 3
Apresentar a regra da cadeia (função composta) de forma direta e clara. Se
e as derivadas existem, então
Explicando devagar:
é a derivada de
calculada no valor
, e depois multiplica-se pela derivada de
em relação a
, que é
. É como “derivar por fora” e depois “por dentro”.
Passo 4
Derivar a função exterior
. Para
vale a regra da potência:
Justificação curta e intuitiva (para
inteiro positivo): ao calcular
e usar o teorema binomial, o termo linear em
é
; dividindo por
e fazendo
sobra
. Portanto a fórmula acima é válida e é a que usaremos.
Passo 5
Derivar a função interior
. A derivada conhecida e demonstrável por limites é
Breve explicação do porquê: usando a identidade de soma de seno e os limites fundamentais
e
, obtém-se
. Assim, a derivada do seno é o cosseno.
Passo 6
Agora aplicar a regra da cadeia com os resultados dos passos anteriores. Usando
e
, obtemos
Substituindo
fica
Passo 7
Interpretando e dando exemplos rápidos para fixar:
- Se
, e (confere). - Se
, e (que é igual a ). - Se
, .
Pratique alguns casos assim para ficar confortável com a aplicação da regra da cadeia — é a mesma ideia para qualquer.