Derive as seguintes funções, indicando os pontos em que
é diferenciável:
b)
b)
Passo 1
O enunciado pede duas coisas sobre a função
:
- Calcular a derivada
de . - Indicar os pontos
em que é diferenciável.
Informações dadas:
- A função é
. - Não há outras restrições no enunciado (domínio implícito: números complexos
).
Passo 2
Para derivar
podemos usar a regra da cadeia para funções complexas: se
e
são diferenciáveis em pontos apropriados, então a composição
é diferenciável e
Aqui é natural identificar
de modo que
.
Antes de aplicar a regra da cadeia, é bom lembrar a regra do poder: para todo inteiro
,
válida também para
complexos. Essa regra pode ser obtida diretamente da definição do limite da derivada ou por expansão binomial seguida do limite.
Passo 3
Vamos calcular
. Usando a regra do poder para
e a linearidade da derivada (constante
tem derivada zero), temos
Aplicando
obtemos
(se quiser ver do limite:
quando
, daí o mesmo raciocínio com o fator 2).
Passo 4
Agora
. Aplicando a regra do poder,
Isso vale para qualquer
.
Passo 5
Aplicando a regra da cadeia
, obtemos
Substituindo
e
,
Multiplicando os constantes,
Passo 6
Agora sobre onde
é diferenciável. Observações importantes e didáticas:
- Polinômios em
(como ) são diferenciáveis em todo . - A função potência
é diferenciável em todo . - A composição de funções diferenciáveis é diferenciável no ponto considerado.
Portanto
é diferenciável em todo
,
é diferenciável em todo
, e assim
é diferenciável em todo
. Em linguagem curta:
é inteira (diferenciável em todos os pontos complexos).