Derive as seguintes funções, indicando os pontos em que f(z) é diferenciável:
b) f(z)=\left(2 z^{2}+i\right)^{5}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas sobre a função f:
  • Calcular a derivada f'(z) de f(z)=\left(2 z^{2}+i\right)^{5}.
  • Indicar os pontos z em que f é diferenciável.
Informações dadas:
  • A função é f(z)=\left(2 z^{2}+i\right)^{5}.
  • Não há outras restrições no enunciado (domínio implícito: números complexos \mathbb{C}).

Passo 2

Para derivar f podemos usar a regra da cadeia para funções complexas: se g e h são diferenciáveis em pontos apropriados, então a composição h\circ g é diferenciável e
(h\circ g)'(z)=h'\bigl(g(z)\bigr)\,g'(z).
Aqui é natural identificar
g(z)=2z^{2}+i \qquad\text{e}\qquad h(w)=w^{5},
de modo que f(z)=(h\circ g)(z)=h\bigl(g(z)\bigr).
Antes de aplicar a regra da cadeia, é bom lembrar a regra do poder: para todo inteiro n\ge1,
\frac{d}{dz}\bigl(z^{n}\bigr)=n z^{n-1},
válida também para z complexos. Essa regra pode ser obtida diretamente da definição do limite da derivada ou por expansão binomial seguida do limite.

Passo 3

Vamos calcular g'(z). Usando a regra do poder para z^{2} e a linearidade da derivada (constante i tem derivada zero), temos
g(z)=2z^{2}+i\quad\Rightarrow\quad g'(z)=2\cdot\frac{d}{dz}(z^{2})+0.
Aplicando \dfrac{d}{dz}(z^{2})=2z obtemos
g'(z)=2\cdot 2z=4z.
(se quiser ver do limite: \dfrac{(z+h)^{2}-z^{2}}{h}=2z+h\to2z quando h\to0, daí o mesmo raciocínio com o fator 2).

Passo 4

Agora h(w)=w^{5}. Aplicando a regra do poder,
h'(w)=5 w^{4}.
Isso vale para qualquer w\in\mathbb{C}.

Passo 5

Aplicando a regra da cadeia (h\circ g)'(z)=h'(g(z))\,g'(z), obtemos
f'(z)=5\bigl(g(z)\bigr)^{4}\cdot g'(z).
Substituindo g(z)=2z^{2}+i e g'(z)=4z,
f'(z)=5\bigl(2z^{2}+i\bigr)^{4}\cdot 4z.
Multiplicando os constantes,
f'(z)=20\,z\bigl(2z^{2}+i\bigr)^{4}.

Passo 6

Agora sobre onde f é diferenciável. Observações importantes e didáticas:
  • Polinômios em z (como 2z^{2}+i) são diferenciáveis em todo \mathbb{C}.
  • A função potência w\mapsto w^{5} é diferenciável em todo \mathbb{C}.
  • A composição de funções diferenciáveis é diferenciável no ponto considerado.
Portanto g é diferenciável em todo \mathbb{C}, h é diferenciável em todo \mathbb{C}, e assim f=h\circ g é diferenciável em todo \mathbb{C}. Em linguagem curta: f é inteira (diferenciável em todos os pontos complexos).

Resposta

f'(z)=20\,z\bigl(2z^{2}+i\bigr)^{4}
f é diferenciável para todo z\in\mathbb{C}.

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