Derive as seguintes funções (sem utilizar a Regra da Cadeia):
f(x)=raiz[3]x^2

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos a derivada de
f(x)=raiz[3]x^2
sem usar a Regra da Cadeia. Para isso vamos aplicar a definição de derivada e usar uma técnica de racionalização baseada na identidade de soma de cubos.

Passo 2

Escrevemos a derivada pela definição:
f'(x)=limhto0f(x+h)-f(x)h =limhto0raiz[3](x+h)^2-raiz[3]x^2h
Denotemos
a=raiz[3](x+h)^2, b=raiz[3]x^2,
de modo que o numerador é a-b.

Passo 3

Para eliminar a diferença de raízes cúbicas, multiplicamos numerador e denominador por
a^2+ab+b^2,
usando
a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)
Então
a-bh =(a-b)(a^2+ab+b^2)h,(a^2+ab+b^2) =a^3-b^3h,(a^2+ab+b^2) =(x+h)^2-x^2h,(a^2+ab+b^2)

Passo 4

Expandimos o numerador
(x+h)^2-x^2=2xh+h^2,
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f'(x) =limhto02xh+h^2h,(a^2+ab+b^2) =limhto02x+ha^2+ab+b^2
Quando hto0, temos atoraiz[3]x^2 e btoraiz[3]x^2.

Passo 5

No limite o denominador fica
a^2+ab+b^2=3l(raiz[3]x^2r)^2 =3,x^tfrac43,
portanto
f'(x)=2x3,x^tfrac43 =23,x^-tfrac13

Resposta

f'(x)=23,x^-tfrac13

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