Recordando: (a) Quais limites definem reta assíntota vertical? Qual é a equação de uma reta assíntota vertical?
(b) Quais limites definem reta assíntota horizontal?
Qual é a equação de uma reta assíntota horizontal?
(c) Por que lim x infty f(x)=infty não indica existência de reta assíntota para y=f(x) ?

Passo 1

Beleza, o exercício quer que a gente relembre e explique três coisas:
(a) que limites indicam uma reta assíntota vertical e qual a equação dessa reta;
(b) que limites indicam uma reta assíntota horizontal e qual a equação dessa reta;
(c) por que o fato de limxtoinftyf(x)=infty não é sinal de reta assíntota.
Conteúdo: teoria de limites (inclusive limites infinitos e laterais) e definição de assíntotas.

Passo 2

Assíntota vertical aparece quando, ao chegar em algum ponto x=a, a função “explode” pra mais ou pra menos infinito. Em termos de limite:
limxto a^-f(x)=pminftyoulimxto a^+f(x)=pminfty
Isso significa que, ao se aproximar de a pela esquerda ou pela direita, f(x) cresce sem parar. A reta assíntota vertical é simplesmente
x=a

Passo 3

Assíntota horizontal rola quando, ao ir para as extremidades do mundo ( xtopminfty), a função se aproxima de um valor finito L. Ou seja:
limxto+inftyf(x)=Loulimxto-inftyf(x)=L
Nesse caso, à medida que x cresce (ou vai pra -infty), o gráfico de f “se agarra” na reta
y=L

Passo 4

Se você só sabe que limxtoinftyf(x)=infty, isso quer dizer que f(x) continua subindo sem parar. Para haver uma assíntota horizontal y=L, precisaríamos que a diferença f(x)-L fosse a zero quando xtoinfty, mas aqui f(x)-Ltoinfty. Ou seja, o gráfico não se aproxima de nenhuma linha, só dispara pra cima. Portanto, não há assíntota.

Resposta

(a) Reta assíntota vertical ocorre quando
limxto a^-f(x)=pminftyoulimxto a^+f(x)=pminfty,
e sua equação é x=a.
(b) Reta assíntota horizontal ocorre quando
limxto+inftyf(x)=Loulimxto-inftyf(x)=L
(com L finito), e sua equação é y=L.
(c) Porque limxtoinftyf(x)=infty significa que f(x) cresce sem parar, não se aproximando de nenhuma reta; para ter assíntota horizontal precisaríamos de limxtoinfty(f(x)-L)=0, e aqui dá infinito.

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