Sejam a, b constantes. Use a definição de Transformada de Laplace e os teoremas de deslocamento para calcular
Lsen b t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a transformada de Laplace de sin(bt), usando a definição de transformada e os teoremas de deslocamento (no plano s). Vamos precisar da definição Lf(t)=integral0^inftye^-stf(t),dt, do teorema de deslocamento em s e da identidade de Euler para senos.

Passo 2

Começamos calculando, pela definição, a transformada da função constante 1.
L1=integral0^inftye^-st,dt =[-1se^-st]0^infty =1s

Passo 3

Aplicamos o teorema de deslocamento no eixo s: se Lf(t)=F(s), então Le^atf(t)=F(s-a). Assim, para f(t)=1 e a=pm i b:
Le^i b t=1s - i b, Le^-i b t=1s + i b

Passo 4

Usamos a identidade de Euler que expressa o seno em termos de exponenciais complexas:
sin(b t)=e^i b t-e^-i b t2i
Pela linearidade da transformada: se g(t)=alpha f1(t)+beta f2(t), então Lg=alphaLf1+betaLf2. Aplicando a sin(bt):
Lsin(bt) =12il(Le^i b t-Le^-i b tr) =12il(1s - i b-1s + i br)

Passo 5

Basta agora simplificar a expressão:
12il(1s - i b-1s + i br) =12icdot(s + i b)-(s - i b)(s - i b)(s + i b) =12icdot2i bs^2+(b)^2 =bs^2+b^2

Passo 6

Chegamos, portanto, ao resultado final para a transformada de Laplace de sin(bt).

Resposta

\frac{b}{s2+b2}

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