Derive e simplifique.
y=sen(x), y^v i i(x)= ?

Passo 1

O enunciado nos pede a sétima derivada da função y = sin(x). O conteúdo aqui é derivação de funções trigonométricas e vamos usar as derivadas de sin(x) e cos(x), além do fato de que elas formam um ciclo.

Passo 2

Vamos listar as derivadas até a quarta ordem para identificar o ciclo:
y' = cos(x)
y'' = -sin(x)
y''' = -cos(x)
y'''' = sin(x)

Passo 3

Percebemos que a cada 4 derivadas a função retorna à forma original, isto é, y^(n+4)(x)=y^(n)(x). Para a sétima derivada calculamos 7 bmod 4 = 3. Portanto a sétima derivada coincide com a terceira, que já vimos ser -cos(x).

Resposta

y^(7)(x) = -cos(x)

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