Nos seguintes exercícios use integrais duplas para encontrar a área da região dada
A região dentro da cardióide r=1+\sin \theta

Passo 1

O enunciado dá a curva em coordenadas polares \;r=1+\sin\theta\; e pede a área da região interna a essa cardióide.
Informações relevantes que temos:
  • A equação da fronteira da região é \;r=1+\sin\theta\;.
  • A área pedida é a área do conjunto de pontos (r,\theta) com 0\le r\le 1+\sin\theta e \theta variando ao redor da curva (vamos determinar o intervalo de \theta).
    A pergunta é: calcular a área da região limitada por \;r=1+\sin\theta\;.

Passo 2

Como representar a área usando integrais duplas em coordenadas polares (aula curta e prática).
Quando trabalhamos em coordenadas polares, fazemos a mudança
x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta,
que transforma um ponto (r,\theta) no plano cartesiano. O elemento de área em coordenadas cartesianas \,dA=dx\,dy transforma-se em coordenadas polares multiplicado pelo Jacobiano da transformação. O Jacobiano é o determinante da matriz das derivadas parciais:
J=\det\begin{pmatrix} \partial x/\partial r & \partial x/\partial\theta\\[4pt] \partial y/\partial r & \partial y/\partial\theta \end{pmatrix} =\det\begin{pmatrix} \cos\theta & -r\sin\theta\\[4pt] \sin\theta & r\cos\theta \end{pmatrix}.
Calculando o determinante:
J = r\cos^2\theta + r\sin^2\theta = r(\cos^2\theta+\sin^2\theta)=r.
Portanto o elemento de área é
dA = J\,dr\,d\theta = r\,dr\,d\theta.
Isso significa que, em polares, a integral dupla que dá a área de uma região R é
\text{Área}(R)=\iint_{R} dA = \iint_{R} r\,dr\,d\theta.Á
Dica prática para prova: muitas vezes, após integrar em r, fica a fórmula rápida
\text{Área}(R)=\frac{1}{2}\int_{\theta_1}^{\theta_2} \big(r(\theta)\big)^2\,d\theta,Á
porque \int_0^{r(\theta)} r\,dr = \tfrac{1}{2}r(\theta)^2. Vou mostrar isso passo a passo abaixo.]

Passo 3

Escolher os limites de integração para esta cardióide.
A curva dada é \;r=1+\sin\theta\;. Para cobrir toda a cardióide uma volta completa em \theta basta tomar \theta de 0 a 2\pi. Observação rápida: \sin\theta tem mínimos -1 e máximos 1, então \;r=1+\sin\theta\; varia entre 0 e 2, nunca ficando negativa — logo o limite inferior r=0 é apropriado. Assim a área é
\text{Área}=\int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=0}^{1+\sin\theta} r\,dr\,d\theta.Á

Passo 4

Integração em r (passo mecanicamente simples, explicado).
Vamos calcular primeiro a integral interna em r:
\int_{r=0}^{1+\sin\theta} r\,dr.
Para integrar r usamos a primitiva \int r\,dr = \tfrac{1}{2}r^2. Avaliando entre 0 e 1+\sin\theta obtém-se
\int_{0}^{1+\sin\theta} r\,dr = \frac{1}{2}\big(1+\sin\theta\big)^2.
Portanto a área fica
\text{Área}=\int_{0}^{2\pi} \frac{1}{2}\big(1+\sin\theta\big)^2\,d\theta =\frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi} \big(1+\sin\theta\big)^2\,d\theta.Á
Nota didática: esta é exatamente a forma \tfrac{1}{2}\int r(\theta)^2 d\theta mencionada antes.

Passo 5

Expandir a integranda e usar identidades trigonométricas (explicando cada identidade).
Primeiro expandimos o quadrado:
\big(1+\sin\theta\big)^2 = 1 + 2\sin\theta + \sin^2\theta.
A identidade útil para \sin^2\theta é
\sin^2\theta = \frac{1-\cos(2\theta)}{2},
que vem da identidade de duplicação para o cosseno. Substituindo:
\big(1+\sin\theta\big)^2 = 1 + 2\sin\theta + \frac{1-\cos(2\theta)}{2}.
Juntando termos constantes:
\big(1+\sin\theta\big)^2 = \frac{3}{2} + 2\sin\theta - \frac{1}{2}\cos(2\theta).

Passo 6

Integrar termo a termo no intervalo [0,2\pi] (mostrando que muitos termos se anulam).
Agora calculamos
\frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}\big(1+\sin\theta\big)^2\,d\theta =\frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}\left(\frac{3}{2} + 2\sin\theta - \frac{1}{2}\cos(2\theta)\right)d\theta.
Integramos cada parcela separadamente:
  • Para a constante:
\frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}\frac{3}{2}\,d\theta = \frac{1}{2}\cdot\frac{3}{2}\cdot(2\pi) = \frac{3\pi}{2}.
  • Para \sin\theta:
\frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}2\sin\theta\,d\theta = \frac{1}{2}\cdot 2\cdot\big[-\cos\theta\big]_{0}^{2\pi} = \big[-\cos\theta\big]_{0}^{2\pi} = -\cos(2\pi)+\cos(0)= -1+1=0.
  • Para \cos(2\theta):
\frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}\left(-\frac{1}{2}\cos(2\theta)\right)d\theta = -\frac{1}{4}\bigg[\frac{1}{2}\sin(2\theta)\bigg]_{0}^{2\pi} = -\frac{1}{8}\big(\sin(4\pi)-\sin 0\big)=0.
Somando as contribuições, apenas o termo constante permanece.

Passo 7

Conclusão final com interpretação e dica para a prova.
Da soma dos termos obtemos
\text{Área}=\frac{3\pi}{2}.Á
Dica prática: na prova memorize e use a fórmula rápida \displaystyle \text{Área}=\frac{1}{2}\int r(\theta)^2\,d\thetaÁ quando a região é dada por 0\le r\le r(\theta). Ela vem direto do fato de que dA=r\,dr\,d\theta e de \int_0^{r(\theta)} r\,dr=\tfrac{1}{2}r(\theta)^2. Respira fundo — a técnica é sempre a mesma: escrever dA=r\,dr\,d\theta, integrar em r e depois em \theta.

Resposta

\dfrac{3\pi}{2}

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