Nos seguintes exercícios use integrais duplas para encontrar a área da região dada
A região dentro da cardióide
A região dentro da cardióide
Passo 1
O enunciado dá a curva em coordenadas polares
e pede a área da região interna a essa cardióide.
Informações relevantes que temos:
Informações relevantes que temos:
- A equação da fronteira da região é
. - A área pedida é a área do conjunto de pontos
com e variando ao redor da curva (vamos determinar o intervalo de ).
A pergunta é: calcular a área da região limitada por.
Passo 2
Como representar a área usando integrais duplas em coordenadas polares (aula curta e prática).
Quando trabalhamos em coordenadas polares, fazemos a mudança
Quando trabalhamos em coordenadas polares, fazemos a mudança
que transforma um ponto
no plano cartesiano. O elemento de área em coordenadas cartesianas
transforma-se em coordenadas polares multiplicado pelo Jacobiano da transformação. O Jacobiano é o determinante da matriz das derivadas parciais:
Calculando o determinante:
Portanto o elemento de área é
Isso significa que, em polares, a integral dupla que dá a área de uma região
é
Dica prática para prova: muitas vezes, após integrar em
, fica a fórmula rápida
porque
. Vou mostrar isso passo a passo abaixo.]
Passo 3
Escolher os limites de integração para esta cardióide.
A curva dada é . Para cobrir toda a cardióide uma volta completa em
basta tomar
de
a
. Observação rápida:
tem mínimos
e máximos
, então
varia entre
e
, nunca ficando negativa — logo o limite inferior
é apropriado. Assim a área é
A curva dada é
Passo 4
Integração em
(passo mecanicamente simples, explicado).
Vamos calcular primeiro a integral interna em :
Vamos calcular primeiro a integral interna em
Para integrar
usamos a primitiva
. Avaliando entre
e
obtém-se
Portanto a área fica
Nota didática: esta é exatamente a forma
mencionada antes.
Passo 5
Expandir a integranda e usar identidades trigonométricas (explicando cada identidade).
Primeiro expandimos o quadrado:
Primeiro expandimos o quadrado:
A identidade útil para
é
que vem da identidade de duplicação para o cosseno. Substituindo:
Juntando termos constantes:
Passo 6
Integrar termo a termo no intervalo
(mostrando que muitos termos se anulam).
Agora calculamos
Agora calculamos
Integramos cada parcela separadamente:
- Para a constante:
- Para
:
- Para
:
Somando as contribuições, apenas o termo constante permanece.
Passo 7
Conclusão final com interpretação e dica para a prova.
Da soma dos termos obtemos
Da soma dos termos obtemos
Dica prática: na prova memorize e use a fórmula rápida
quando a região é dada por
. Ela vem direto do fato de que
e de
. Respira fundo — a técnica é sempre a mesma: escrever
, integrar em
e depois em
.