Derive y=\frac{x^{3 / 4} \sqrt{x^{2}+1}}{(3 x+2)^{5}}.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a derivada de
y = \frac{x^{3/4}\,\sqrt{x^2+1}}{(3x+2)^{5}}.
O conteúdo principal envolvido são as regras de derivação de função potência, função composta (regra da cadeia) e produto/quociente. Para simplificar os cálculos, vamos usar diferenciação logarítmica.

Passo 2

Aplicamos logaritmo natural em ambos os lados para transformar produto e quociente em soma e subtração:
\ln y = \ln\bigl(x^{3/4}\bigr) + \ln\bigl((x^2+1)^{1/2}\bigr) - \ln\bigl((3x+2)^{5}\bigr).
Em seguida, usamos as propriedades de potências de logaritmo:
\ln y = \frac{3}{4}\,\ln x + \frac{1}{2}\,\ln(x^2+1) - 5\,\ln(3x+2).

Passo 3

Agora derivamos ambos os lados em relação a x. No lado esquerdo vem \frac{1}{y}\,\frac{dy}{dx}. No direito, aplicamos derivada de \ln x, de \ln(x^2+1) e de \ln(3x+2):
\frac{1}{y}\,\frac{dy}{dx} = \frac{3}{4}\,\frac{1}{x} + \frac{1}{2}\,\frac{2x}{x^2+1} - 5\,\frac{3}{3x+2}.
Simplificando cada termo:
\frac{1}{y}\,\frac{dy}{dx} = \frac{3}{4x} + \frac{x}{x^2+1} - \frac{15}{3x+2}.

Passo 4

Isolamos \frac{dy}{dx} multiplicando por y:
\frac{dy}{dx} = y\;\biggl(\frac{3}{4x} + \frac{x}{x^2+1} - \frac{15}{3x+2}\biggr).
E como y = \dfrac{x^{3/4}\,\sqrt{x^2+1}}{(3x+2)^{5}}, obtemos:

Resposta

\frac{dy}{dx} = \frac{x^{3/4}\,\sqrt{x^2+1}}{(3x+2)^{5}} \;\Bigl(\tfrac{3}{4x} + \tfrac{x}{x^2+1} - \tfrac{15}{3x+2}\Bigr).

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