Determine d s / d t
s=\frac{1+\operatorname{cosec} t}{1-\operatorname{cosec} t}

Passo 1

O enunciado pede a derivada \dfrac{d s}{d t} de
s = \frac{1 + \csc t}{1 - \csc t}.
O conteúdo envolvido é derivação de quociente de funções e a derivada da função \csc t.

Passo 2

Lembrando a derivada de \csc t:
\frac{d}{dt}\bigl(\csc t\bigr) = -\csc t \,\cot t.

Passo 3

Definimos
u(t) = 1 + \csc t, \quad v(t) = 1 - \csc t,
de modo que s(t)=u(t)/v(t). Pela regra do quociente,
\frac{d s}{d t} = \frac{u'\,v - u\,v'}{v^2}.

Passo 4

Calculamos as derivadas auxiliares:
u' = -\csc t\,\cot t, \qquad v' = -\bigl(-\csc t\,\cot t\bigr)=\csc t\,\cot t.
Substituindo,
\frac{d s}{d t} = \frac{\bigl(-\csc t\,\cot t\bigr)\,(1-\csc t) - (1+\csc t)\,(\csc t\,\cot t)} {(1-\csc t)^2}.
No numerador, fatorando \csc t\,\cot t:
-\csc t\,\cot t\,(1-\csc t) - \csc t\,\cot t\,(1+\csc t) = \csc t\,\cot t\bigl[-(1-\csc t)-(1+\csc t)\bigr] = -2\,\csc t\,\cot t.
Logo,
\frac{d s}{d t} = \frac{-2\,\csc t\,\cot t}{(1-\csc t)^2}.

Resposta

\frac{d s}{d t} = -2\,\frac{\csc t\,\cot t}{\bigl(1-\csc t\bigr)^2}.

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