Determine d s / d t
s=\frac{\operatorname{sen} t}{1-\cos t}

Passo 1

O enunciado pede a derivada \dfrac{d s}{d t} da função
s = \frac{\sin t}{1 - \cos t}.
O conteúdo necessário é a regra do quociente e as derivadas de \sin t e \cos t.

Passo 2

Seja u(t)=\sin t e v(t)=1-\cos t. Pela regra do quociente, temos
\frac{d s}{d t} =\frac{u'(t)\,v(t)-u(t)\,v'(t)}{\bigl(v(t)\bigr)^2}.

Passo 3

Calculamos as derivadas
u'(t)=\frac{d}{dt}(\sin t)=\cos t, \qquad v'(t)=\frac{d}{dt}\bigl(1-\cos t\bigr)=\sin t.
Substituindo em \dfrac{d s}{d t}, fica
\frac{d s}{d t} =\frac{\cos t\,(1-\cos t)-\sin t\cdot\sin t}{(1-\cos t)^2} =\frac{\cos t\,(1-\cos t)-\sin^2 t}{(1-\cos t)^2}.

Passo 4

No numerador, observe que
\cos t\,(1-\cos t)-\sin^2 t =\cos t-\cos^2 t-\sin^2 t =\cos t-\bigl(\cos^2 t+\sin^2 t\bigr) =\cos t-1.
Logo
\frac{d s}{d t} =\frac{\cos t-1}{(1-\cos t)^2}.

Passo 5

Como \cos t-1=-(1-\cos t), temos
\frac{d s}{d t} =-\frac{1-\cos t}{(1-\cos t)^2} =-\frac{1}{1-\cos t}.

Resposta

\frac{d s}{d t}=-\frac{1}{1-\cos t}.

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