Derive :
y=\ln (x-2).

Passo 1

O enunciado nos dá a função
y=\ln(x-2)
e pede a derivada dessa função em relação a x. Informação importante sobre o domínio: a expressão (x-2) deve ser positiva para o logaritmo natural estar definido, portanto temos x>2. Não vamos ainda resolver — só listei o que temos e o que se pede.

Passo 2

Vamos lembrar uma regra básica e muito útil: a derivada da função logaritmo natural composta. Se tivermos uma função y=\ln u(x), onde u(x) é uma função diferenciável de x, então a regra da cadeia dá
\frac{dy}{dx}=\frac{u'(x)}{u(x)}.
Aqui:
  • y é a função que queremos derivar;
  • u(x) é a função interna (a parte dentro do logaritmo);
  • u'(x) é a derivada de u em relação a x;
  • a razão \dfrac{u'(x)}{u(x)} é a fórmula que resulta da derivação do \ln.
    Uma maneira rápida de lembrar/justificar isso é usar que \ln é a função inversa de e^x: se y=\ln v então v=e^y; diferenciando v em relação a y e invertendo obtemos \dfrac{dy}{dv}=\dfrac{1}{v}. Aplicando a cadeia quando v=u(x) surge a fórmula acima.

Passo 3

Agora identifique a função interna na nossa situação. Para
y=\ln(x-2)
basta escolher
u(x)=x-2.
Isso é óbvio: u(x) é exatamente a expressão dentro do \ln.

Passo 4

Calcule a derivada de u(x). Como u(x)=x-2 é uma função polinomial simples, a derivada é
u'(x)=\frac{d}{dx}(x-2)=1.
Expliquei: a derivada de x em relação a x é 1 e a derivada da constante -2 é 0.

Passo 5

Agora aplique a fórmula da cadeia que escrevemos no Passo 2:
\frac{dy}{dx}=\frac{u'(x)}{u(x)}=\frac{1}{x-2}.
Lembre-se que essa expressão só faz sentido onde a função original está definida, isto é, para x>2.

Resposta

\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{1}{x-2}

Exercícios relacionados