Derive :
.
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede a derivada dessa função em relação a
. Informação importante sobre o domínio: a expressão
deve ser positiva para o logaritmo natural estar definido, portanto temos
. Não vamos ainda resolver — só listei o que temos e o que se pede.
Passo 2
Vamos lembrar uma regra básica e muito útil: a derivada da função logaritmo natural composta. Se tivermos uma função
, onde
é uma função diferenciável de
, então a regra da cadeia dá
Aqui:
-
é a função que queremos derivar; -
é a função interna (a parte dentro do logaritmo); -
é a derivada de em relação a ; - a razão
é a fórmula que resulta da derivação do .
Uma maneira rápida de lembrar/justificar isso é usar queé a função inversa de : se então ; diferenciando em relação a e invertendo obtemos . Aplicando a cadeia quando surge a fórmula acima.
Passo 3
Agora identifique a função interna na nossa situação. Para
basta escolher
Isso é óbvio:
é exatamente a expressão dentro do
.
Passo 4
Calcule a derivada de
. Como
é uma função polinomial simples, a derivada é
Expliquei: a derivada de
em relação a
é
e a derivada da constante
é
.
Passo 5
Agora aplique a fórmula da cadeia que escrevemos no Passo 2:
Lembre-se que essa expressão só faz sentido onde a função original está definida, isto é, para
.