Derive:
y=e^tg(x^2).

Passo 1

Beleza! Vamos resolver a derivada da função y=e^tg(x^2). O conteúdo aqui é sobre derivadas, que é uma parte fundamental do cálculo. Para resolver isso, vamos precisar utilizar a regra da cadeia, que é uma técnica para derivar funções compostas. A ideia básica da regra da cadeia é que se você tem uma função dentro de outra, você vai derivar a parte externa e, em seguida, multiplicar pela derivada da parte interna.

Passo 2

Então, primeira coisa: identificamos que temos uma função exponencial e^u, onde u = tg(x^2). Para derivar essa função, vamos usar a regra da cadeia.
A derivada do e^u em relação a x é dada por:
dydx = e^u cdot dudx
Agora, precisamos encontrar u e a derivada de u, que é dudx. Lembre-se que u = tg(x^2). Para essa parte, precisamos usar novamente a regra da cadeia, já que temos uma função tangente onde a entrada é x^2.

Passo 3

Vamos primeiro derivar u = tg(x^2):
A derivada da tangente é sec^2(u). Logo, aplicando a regra da cadeia:
dudx = sec^2(x^2) cdot ddx(x^2)
Aqui, a derivada de x^2 é 2x. Então, juntando tudo:
dudx = sec^2(x^2) cdot 2x

Passo 4

Agora que temos dudx, vamos colocar tudo na fórmula da derivada de y que encontramos no Passo 2. Então, substituindo:
dydx = e^tg(x^2) cdot (sec^2(x^2) cdot 2x)

Resposta

Assim, a derivada final fica:
dydx = e^tg(x^2) cdot 2x cdot sec^2(x^2)

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