Sendo a entropia uma função de estado, escreva a entropia molar de um gás ideal:
Como uma função de (
);
Como uma função de (
Passo 1
O enunciado pede: escrever a entropia molar de um gás ideal como função de
.
Informações relevantes fornecidas:
- A entropia é uma função de estado (ou seja, depende apenas do estado final e inicial, não do caminho).
- O sistema é um gás ideal (usar a equação de estado do gás ideal).
- Queremos a entropia molar, isto é, a entropia por mol e a expressão em termos de
(volume molar) e (temperatura). - Usaremos constantes termodinâmicas padrões: a capacidade calorífica molar a volume constante
e a constante universal dos gases .
Passo 2
Vamos começar com uma identidade termodinâmica que relaciona energia interna, entropia, pressão e volume. Para uma substância simples (sistema fechado, trabalho apenas de pressão), vale a relação de energia interna:
Expliquei as notações:
-
é a energia interna molar. -
é a temperatura (em kelvin). -
é a entropia molar que queremos. -
é a pressão. -
é o volume molar.
Essa identidade é uma forma do primeiro e segundo princípios combinados para uma transformação reversível.
Passo 3
Isolando
temos:
Isso nos dá um diferencial exato para a entropia em termos de
,
,
e
. Agora precisamos expressar
e
para o gás ideal.
Passo 4
Para um gás ideal (modelo clássico), a energia interna molar depende apenas da temperatura. Logo:
onde
é a capacidade calorífica molar a volume constante (pode ser função de
em geral, mas muitas vezes assumimos
constante — comentarei sobre isso abaixo). Essa propriedade é física: no gás ideal não há energia interna dependente do volume, apenas do movimento térmico (temperatura).
Passo 5
Substituindo
em
obtemos:
Aqui vimos dois termos: um relacionado à variação de temperatura e outro à variação de volume.
Passo 6
Agora usamos a equação de estado do gás ideal na forma molar:
portanto
Substituindo em
resulta:
Observe que o termo
cancela no segundo quociente, deixando apenas
.
Passo 7
A expressão obtida é um diferencial exato em
e
. Integramos ambos os lados entre um estado de referência
e o estado
. Como entropia é função de estado, o resultado independe do caminho escolhido. Integramos termo a termo:
As integrais são simples logaritmos (assumindo
constante; se
, integra-se
).
Passo 8
Realizando as integrações (supondo
constante para simplicidade em prova; se não for constante, deixar em forma integral), obtemos:
Definindo a entropia molar de referência
, reescrevemos a solução de forma prática.
Passo 9
Apresentando a forma final e comentando usos práticos:
Observações úteis para prova:
-
é a entropia molar no estado de referência e depende da escolha do referencial; frequentemente podemos escolher para simplificar ou trabalhar com diferenças de entropia (onde se cancela). - Se
não for constante, substituir por . - Exemplo concreto: para um gás ideal monoatômico
, então