Sendo a entropia uma função de estado, escreva a entropia molar de um gás ideal:
Como uma função de ( \mathrm{V}, \mathrm{T} );

Passo 1

O enunciado pede: escrever a entropia molar de um gás ideal como função de (\mathrm{V},\mathrm{T}).
Informações relevantes fornecidas:
  • A entropia é uma função de estado (ou seja, depende apenas do estado final e inicial, não do caminho).
  • O sistema é um gás ideal (usar a equação de estado do gás ideal).
  • Queremos a entropia molar, isto é, a entropia por mol e a expressão em termos de \mathrm{V} (volume molar) e \mathrm{T} (temperatura).
  • Usaremos constantes termodinâmicas padrões: a capacidade calorífica molar a volume constante \bar{C}_V e a constante universal dos gases \,R.

Passo 2

Vamos começar com uma identidade termodinâmica que relaciona energia interna, entropia, pressão e volume. Para uma substância simples (sistema fechado, trabalho apenas de pressão), vale a relação de energia interna:
d\bar{U} = T\,d\bar{S} - P\,dV.
Expliquei as notações:
  • \bar{U} é a energia interna molar.
  • T é a temperatura (em kelvin).
  • \bar{S} é a entropia molar que queremos.
  • P é a pressão.
  • V é o volume molar.
    Essa identidade é uma forma do primeiro e segundo princípios combinados para uma transformação reversível.

Passo 3

Isolando d\bar{S} temos:
d\bar{S}=\frac{d\bar{U}+P\,dV}{T}.
Isso nos dá um diferencial exato para a entropia em termos de d\bar{U}, P, dV e T. Agora precisamos expressar d\bar{U} e P para o gás ideal.

Passo 4

Para um gás ideal (modelo clássico), a energia interna molar depende apenas da temperatura. Logo:
d\bar{U}=\bar{C}_V\,dT,
onde \bar{C}_V é a capacidade calorífica molar a volume constante (pode ser função de T em geral, mas muitas vezes assumimos \bar{C}_V constante — comentarei sobre isso abaixo). Essa propriedade é física: no gás ideal não há energia interna dependente do volume, apenas do movimento térmico (temperatura).

Passo 5

Substituindo d\bar{U}=\bar{C}_V\,dT em d\bar{S} obtemos:
d\bar{S}=\frac{\bar{C}_V\,dT}{T}+\frac{P\,dV}{T}.
Aqui vimos dois termos: um relacionado à variação de temperatura e outro à variação de volume.

Passo 6

Agora usamos a equação de estado do gás ideal na forma molar:
P\,V = R\,T,
portanto
P=\frac{R\,T}{V}.
Substituindo em d\bar{S} resulta:
d\bar{S}=\bar{C}_V\frac{dT}{T}+\frac{R}{V}\,dV.
Observe que o termo T cancela no segundo quociente, deixando apenas R/V.

Passo 7

A expressão obtida é um diferencial exato em T e V. Integramos ambos os lados entre um estado de referência (T_0,V_0) e o estado (T,V). Como entropia é função de estado, o resultado independe do caminho escolhido. Integramos termo a termo:
\int_{\bar{S}(T_0,V_0)}^{\bar{S}(T,V)} d\bar{S} = \int_{T_0}^{T} \bar{C}_V\frac{dT'}{T'} + \int_{V_0}^{V} \frac{R}{V'}\,dV'.
As integrais são simples logaritmos (assumindo \bar{C}_V constante; se \bar{C}_V=\bar{C}_V(T), integra-se \int \bar{C}_V(T)/T\,dT).

Passo 8

Realizando as integrações (supondo \bar{C}_V constante para simplicidade em prova; se não for constante, deixar em forma integral), obtemos:
\bar{S}(T,V)-\bar{S}(T_0,V_0)=\bar{C}_V\ln\!\left(\frac{T}{T_0}\right)+R\ln\!\left(\frac{V}{V_0}\right).
Definindo a entropia molar de referência \bar{S}_0=\bar{S}(T_0,V_0), reescrevemos a solução de forma prática.

Passo 9

Apresentando a forma final e comentando usos práticos:
\bar{S}(T,V)=\bar{S}_0+\bar{C}_V\ln\!\left(\frac{T}{T_0}\right)+R\ln\!\left(\frac{V}{V_0}\right).
Observações úteis para prova:
  • \bar{S}_0 é a entropia molar no estado de referência (T_0,V_0) e depende da escolha do referencial; frequentemente podemos escolher T_0,V_0 para simplificar ou trabalhar com diferenças de entropia (onde \bar{S}_0 se cancela).
  • Se \bar{C}_V não for constante, substituir \bar{C}_V\ln(T/T_0) por \int_{T_0}^{T}\frac{\bar{C}_V(T')}{T'}\,dT'.
  • Exemplo concreto: para um gás ideal monoatômico \bar{C}_V=\tfrac{3}{2}R, então
\bar{S}(T,V)=\bar{S}_0+\tfrac{3}{2}R\ln\!\left(\frac{T}{T_0}\right)+R\ln\!\left(\frac{V}{V_0}\right).

Resposta

\displaystyle \bar{S}(T,V)=\bar{S}(T_0,V_0)+\bar{C}_V\ln\!\left(\frac{T}{T_0}\right)+R\ln\!\left(\frac{V}{V_0}\right)
\displaystyle \text{(equivalente: }\bar{S}(T,V)=\bar{C}_V\ln T+R\ln V+\text{const.)}

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