(DESAFIO O que acontece com a média, e o desvio padrão de um conjunto de dados quando:
(a) Cada observação é multiplicada por 2 .
(b) Soma-se 10 a cada observação.
(c) Subtrai-se a média geral de cada observação.
(d) De cada observação, subtrai-se a média geral e divide-se pelo desvio padrão.

Passo 1

Estamos trabalhando com as estatísticas de um conjunto de dados x1,x2,dots,xn, cuja média é
barx=1nsumi=1^n xi
e cujo desvio-padrão amostral é
s=raiz1n-1sumi=1^n (xi-barx)^2.
O que muda em barx e em s sob as transformações indicadas?

Passo 2

(a) Multiplica-se cada observação por 2: definimos yi=2,xi.
Então a nova média
y=1nsumi=1^n yi =1nsumi=1^n 2,xi =2,barx
E o novo desvio-padrão
sy =raiz1n-1sumi=1^n(yi-y)^2 =raiz1n-1sumi=1^n(2xi-2barx)^2 =2,s

Passo 3

(b) Soma-se 10 a cada observação: definimos yi=xi+10.
A nova média
y =1nsumi=1^n(xi+10) =barx+10
Como o desvio-padrão é invariante a translação,
sy =raiz1n-1sumi=1^nl((xi+10)-(barx+10)r)^2 =raiz1n-1sumi=1^n(xi-barx)^2 =s

Passo 4

(c) Subtrai-se a média geral de cada observação: yi=xi-barx.
Então
y =1nsumi=1^n(xi-barx) =barx-barx=0
E o desvio-padrão continua igual ao original, pois é só a distância em relação à média:
sy =raiz1n-1sumi=1^n(yi-0)^2 =raiz1n-1sumi=1^n(xi-barx)^2 =s

Passo 5

(d) Padroniza-se cada observação: yi=(xi-barx)/s.
A média fica
y =1nsumi=1^nxi-barxs =1sl(1nsumi=1^n(xi-barx)r) =0
e o desvio-padrão
sy =raiz1n-1sumi=1^nl(xi-barxs-0r)^2 =1sraiz1n-1sumi=1^n(xi-barx)^2 =1

Resposta

(a) y=2,barx, sy=2,s
(b) y=barx+10, sy=s
(c) y=0, sy=s
(d) y=0, sy=1

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