Verificar se a função a seguir é contínua em P(0,0).
f(x, y)=cx^5x^4+y^4, se (x, y) neq(0,0) 0, se (x, y)=(0,0)

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma função [f(x, y)) definida por:
O objetivo é verificar se essa função é contínua no ponto se aproxima de .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. A função f(x, y) é contínua em P(0,0) se o limite de f(x, y) quando (x, y) se aproxima de (0,0) for igual ao valor da função nesse ponto, ou seja:
lim(x,y) to (0,0) f(x, y) = f(0,0)
Sabemos que f(0,0) = 0 , então precisamos calcular o limite lim(x,y) to (0,0) x^5x^4 + y^4 e verificar se ele é igual a zero.

Passo 3

Para calcular esse limite, uma boa estratégia é usar coordenadas polares, onde x = r cos(theta) e y = r sin(theta) . Assim, quando r tende a zero, (x, y) se aproxima de (0,0) . Substituindo na função:
f(r, theta) = (r cos(theta))^5(r cos(theta))^4 + (r sin(theta))^4 = r^5 cos^5(theta)r^4 (cos^4(theta) + sin^4(theta)) = r cos^5(theta)cos^4(theta) + sin^4(theta)
Agora, analisando o comportamento quando r to 0 :
limr to 0 r cos^5(theta)cos^4(theta) + sin^4(theta) = 0
Isso porque r está multiplicando uma função limitada em theta , então o produto tende a zero.

Passo 4

Concluímos que:
lim(x,y) to (0,0) x^5x^4 + y^4 = 0
Como esse limite é igual ao valor da função em P(0,0) , que também é zero, a função f(x, y) é contínua em (0,0) .

Resposta

Sim, a função é contínua em P(0,0) .

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