Nos Exercícios 1-4, use aproximações finitas para estimar a área sob a curva da função, usando
f(x)=1 / x entre x=1 e x=5.
a. uma soma inferior com dois retângulos de largura igual.
b. uma soma inferior com quatro retângulos de largura igual.
c. uma soma superior com dois retângulos de largura igual.
d. uma soma superior com quatro retângulos de largura igual.

Passo 1

O enunciado pede para estimar a área sob a curva de f(x)=tfrac1x no intervalo de x=1 até x=5, usando somas inferiores e superiores com retângulos de larguras iguais. Como f é decrescente, a soma inferior usa as alturas nos pontos finais à direita de cada subintervalo e a soma superior usa as alturas nos pontos iniciais à esquerda.

Passo 2

Calculemos a largura de cada retângulo ( De<a x) e os subintervalos:
  • Para dois retângulos:
    De<a x = 5-12 = 2.
    Os subintervalos são [1,3] e [3,5].
  • Para quatro retângulos:
    De<a x = 5-14 = 1.
    Os subintervalos são [1,2], [2,3], [3,4] e [4,5].

Passo 3

Soma inferior com dois retângulos ( n=2):
Como f é decrescente, usamos as alturas em x=3 e x=5:
L2 = f(3),De<a x + f(5),De<a x = 13cdot 2 + 15cdot 2 = 23 + 25 = 10+615 = 1615

Passo 4

Soma inferior com quatro retângulos ( n=4):
As alturas em x=2,3,4,5 dão
L4 = sumk=1^4 f(1+k),De<a x = l(12+13+14+15r)cdot 1 = 12+13+14+15 = 30+20+15+1260 = 7760

Passo 5

Soma superior com dois retângulos ( n=2):
Usamos as alturas em x=1 e x=3:
U2 = f(1),De<a x + f(3),De<a x = 1cdot 2 + 13cdot 2 = 2 + 23 = 83

Passo 6

Soma superior com quatro retângulos ( n=4):
Usamos as alturas em x=1,2,3,4:
U4 = sumk=0^3 f(1+k),De<a x = l(1 + 12 + 13 + 14r)cdot 1 = 12+6+4+312 = 2512

Resposta

a. 1615
b. 7760
c. 83
d. 2512

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