Desafio: Considere as funções f_{n}(x), onde n é um inteiro não negativo, definidas da seguinte forma: se x \neq 0, então f_{n}(x)=x^{n} \sin (1 / x); se x=0, então f_{n}(x)=0. Responda e justifique:
  • A função f_{0}(x) é contínua em x=0 ?
  • A função f_{1}(x) é contínua em x=0 ? A derivada de f_{1}(x) existe em x=0 ?
  • A função f_{2}(x) é contínua em x=0 ? Mostre que a derivada de f_{2}(x) existe em x=0. A derivada de f_{2}(x) é contínua em x=0 ?

Passo 1

O enunciado define uma família de funções f_{n}:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) por \[f_{n}(x)= \begin{cases} x^{n}\sin\bigl(1/x\bigr),&x\neq0,\\\\ 0,&x=0. \end{cases}
Pede-se analisar, em x=0\], para \(n=0,1,2: continuidade, existência de derivada e, no caso de n=2, continuidade da derivada. Para resolver, vamos usar limites (teorema do confronto) e definição de derivada, além da regra do produto e da cadeia.

Passo 2

Para n=0\) temos \[f_{0}(x)= \begin{cases} \sin\bigl(1/x\bigr),&x\neq0,\\\\ 0,&x=0. \end{cases}
O limite \lim_{x\to0}\sin(1/x)\] não existe porque \(\sin(1/x) oscila entre -1 e 1 sem estabelecer um único valor. Como o limite não bate com f_{0}(0)=0, concluímos que f_{0} não é contínua em 0.

Passo 3

Para n=1\) temos \[f_{1}(x)= \begin{cases} x\sin\bigl(1/x\bigr),&x\neq0,\\\\ 0,&x=0. \end{cases}
  1. Continuidade: usando o confronto
\bigl|x\sin(1/x)\bigr|\le |x|\xrightarrow[x\to0]{}0,
logo \lim_{x\to0}f_{1}(x)=0=f_{1}(0)\], e \(f_{1} é contínua em 0.
  1. Derivada em 0: pela definição
f_{1}'(0)=\lim_{h\to0}\frac{f_{1}(h)-f_{1}(0)}{h}=\lim_{h\to0}\frac{h\sin(1/h)}{h} =\lim_{h\to0}\sin(1/h),
que não existe. Portanto f_{1}'(0) não existe.

Passo 4

Para n=2\) temos \[f_{2}(x)= \begin{cases} x^{2}\sin\bigl(1/x\bigr),&x\neq0,\\\\ 0,&x=0. \end{cases}
  1. Continuidade: novamente por confronto
\bigl|x^{2}\sin(1/x)\bigr|\le x^{2}\xrightarrow[x\to0]{}0,
logo f_{2}\] é contínua em \(0.
  1. Derivada em 0:
f_{2}'(0)=\lim_{h\to0}\frac{h^{2}\sin(1/h)}{h} =\lim_{h\to0}h\sin(1/h)=0
porquanto \bigl|h\sin(1/h)\bigr|\le|h|\to0. Assim f_{2}'(0)=0 existe.

Passo 5

Para x\neq0, usando regra do produto e cadeia,
f_{2}'(x) =\frac{d}{dx}\bigl[x^{2}\bigr]\sin\bigl(1/x\bigr) +x^{2}\frac{d}{dx}\bigl[\sin(1/x)\bigr] =2x\sin(1/x)+x^{2}\cos(1/x)\bigl(-1/x^{2}\bigr) =2x\sin(1/x)-\cos(1/x).
Logo
f_{2}'(x)=2x\sin(1/x)-\cos(1/x)\quad(x\neq0), \quad f_{2}'(0)=0.
Para estudar \lim_{x\to0}f_{2}'(x), note que 2x\sin(1/x)\to0 mas \cos(1/x) oscila entre -1 e 1. Dessa forma o limite \lim_{x\to0}f_{2}'(x) não existe, e f_{2}' é descontinua em 0.

Resposta

f_{0} não é contínua em x=0.
f_{1} é contínua em x=0, mas f_{1}'(0) não existe.
f_{2} é contínua em x=0; f_{2}'(0) existe e vale 0; porém f_{2}' não é contínua em x=0.

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