Desafio: Considere as funções f_{n}(x), onde n é um inteiro não negativo, definidas da seguinte forma: se x \neq 0, então f_{n}(x)=x^{n} \sin (1 / x); se x=0, então f_{n}(x)=0. Responda e justifique:
A função f_{0}(x) é contínua em x=0 ?
A função f_{1}(x) é contínua em x=0 ? A derivada de f_{1}(x) existe em x=0 ?
A função f_{2}(x) é contínua em x=0 ? Mostre que a derivada de f_{2}(x) existe em x=0. A derivada de f_{2}(x) é contínua em x=0 ?
Passo 1
O enunciado define uma família de funções f_{n}:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) por
\[f_{n}(x)= \begin{cases} x^{n}\sin\bigl(1/x\bigr),&x\neq0,\\\\ 0,&x=0. \end{cases}
Pede-se analisar, em x=0\], para \(n=0,1,2: continuidade, existência de derivada e, no caso de n=2, continuidade da derivada. Para resolver, vamos usar limites (teorema do confronto) e definição de derivada, além da regra do produto e da cadeia.
Passo 2
Para n=0\) temos
\[f_{0}(x)= \begin{cases} \sin\bigl(1/x\bigr),&x\neq0,\\\\ 0,&x=0. \end{cases}
O limite \lim_{x\to0}\sin(1/x)\] não existe porque \(\sin(1/x) oscila entre -1 e 1 sem estabelecer um único valor. Como o limite não bate com f_{0}(0)=0, concluímos que f_{0} não é contínua em 0.
Passo 3
Para n=1\) temos
\[f_{1}(x)= \begin{cases} x\sin\bigl(1/x\bigr),&x\neq0,\\\\ 0,&x=0. \end{cases}
Para estudar \lim_{x\to0}f_{2}'(x), note que 2x\sin(1/x)\to0 mas \cos(1/x) oscila entre -1 e 1. Dessa forma o limite \lim_{x\to0}f_{2}'(x) não existe, e f_{2}' é descontinua em 0.
Resposta
– f_{0} não é contínua em x=0.
– f_{1} é contínua em x=0, mas f_{1}'(0) não existe.
– f_{2} é contínua em x=0; f_{2}'(0) existe e vale 0; porém f_{2}' não é contínua em x=0.