Desafio: Demonstre que, em um plano cartesiano, se duas retas têm declives m 1 e m 2 , e são perpendiculares, então m 1 * \mathrm{m} 2=-1. Dica: Use conceitos de trigonometria e a definição de declive para provar essa relação.

Passo 1

O enunciado quer mostrar que, num plano cartesiano, duas retas perpendiculares com declives m_1 e m_2 satisfazem
m_1\,m_2 = -1.
O conteúdo usado será definição de declive via trigonometria e a condição de perpendicularidade em termos de ângulos.

Passo 2

Lembrando que o declive de uma reta que faz ângulo \theta com o eixo x é
m = \tan(\theta).
Ou seja, podemos escrever
m_1 = \tan(\theta_1), \quad m_2 = \tan(\theta_2).

Passo 3

Perpendicularidade significa que os ângulos diferem em 90^\circ (ou \tfrac{\pi}{2} rad). Logo
\theta_2 = \theta_1 + \frac{\pi}{2}.
Assim
m_2 = \tan\!\Bigl(\theta_1 + \tfrac{\pi}{2}\Bigr).
Usando as fórmulas de seno e cosseno:
\sin\!\Bigl(\theta_1 + \tfrac{\pi}{2}\Bigr) = \cos\theta_1, \quad \cos\!\Bigl(\theta_1 + \tfrac{\pi}{2}\Bigr) = -\sin\theta_1,
vem
\tan\!\Bigl(\theta_1 + \tfrac{\pi}{2}\Bigr) = \frac{\sin(\theta_1+\frac{\pi}{2})}{\cos(\theta_1+\frac{\pi}{2})} = \frac{\cos\theta_1}{-\,\sin\theta_1} = -\frac{\cos\theta_1}{\sin\theta_1} = -\cot\theta_1 = -\frac{1}{\tan\theta_1}.

Passo 4

Como \tan(\theta_1)=m_1, a relação anterior diz
m_2 = -\frac{1}{m_1}.
Multiplicando ambos os lados por m_1, obtemos
m_1\,m_2 = -1.

Resposta

\;m_1\,m_2 = -1

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