EXERCÍCIO 2. Mostre usando a definição que \lim _{x \rightarrow+\infty} x=+\infty e \lim _{x \rightarrow-\infty} x=-\infty.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, usando a definição de limite com valor infinito, que
\lim_{x \to +\infty} x = +\infty
e
\lim_{x \to -\infty} x = -\infty.
O conteúdo aqui é entendimento da definição de limite quando o valor da função tende a +\infty ou a -\infty.

Passo 2

Relembrando a definição de limite para +\infty: dizemos que
\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty
se, para todo M>0, existe um número real A tal que, sempre que x>A, temos f(x)>M.

Passo 3

Aplicando ao caso f(x)=x: dado qualquer M>0, basta escolher
A = M.
Então, se x>A teremos x>M, ou seja, f(x)=x>M. Isso satisfaz a definição e prova que
\lim_{x \to +\infty} x = +\infty.

Passo 4

Agora a definição de limite para -\infty: dizemos que
\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty
se, para todo N<0, existe um número real B tal que, sempre que x<B, temos f(x)<N.

Passo 5

Aplicando ao caso f(x)=x: dado qualquer N<0, basta escolher
B = N.
Então, se x<B teremos x<N, ou seja, f(x)=x<N. Isso satisfaz a definição e prova que
\lim_{x \to -\infty} x = -\infty.

Resposta

\lim_{x \to +\infty} x = +\infty \lim_{x \to -\infty} x = -\infty

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