(Desafio) Mostre que o coeficiente do termo de grau
do polinômio característico de uma matriz
é
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dado
com
, o coeficiente do termo de grau
em
é
. Para isso vamos usar a fórmula de Leibniz para determinantes e analisar a expansão em potências de
.
Passo 2
Pela fórmula de Leibniz temos
onde
é o delta de Kronecker e
são as entradas de
.
Passo 3
Em cada produto
cada fator escolhe “ ” se
ou “
” se
. O grau em
de cada termo é o número de vezes que escolhemos
, isto é, o número de pontos fixos de
. Para contribuir no termo
precisamos exatamente de
escolhas de
e 1 escolha de
.
cada fator escolhe “
Passo 4
Observe que qualquer permutação
move pelo menos dois elementos (porque um ciclo não-trivial tem tamanho
), logo tem no máximo
pontos fixos e não pode produzir grau
. A única permutação com exatamente
fixos é
. Para
cada fator é
, logo
Resposta
O coeficiente do termo de grau
em
é
.