(Desafio) Mostre que o coeficiente do termo de grau n-1 do polinômio característico de uma matriz A \in M_{n}(\mathbb{R}) é -\operatorname{tr}(A).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dado
p(\lambda)=\det(\lambda I - A)
com A\in M_n(\mathbb{R}), o coeficiente do termo de grau n-1 em p(\lambda) é -\tr(A). Para isso vamos usar a fórmula de Leibniz para determinantes e analisar a expansão em potências de \lambda.

Passo 2

Pela fórmula de Leibniz temos
p(\lambda) =\det(\lambda I - A) =\sum_{\sigma\in S_n}\sgn(\sigma)\;\prod_{i=1}^{n}\bigl(\lambda\,\delta_{i,\sigma(i)}-a_{i,\sigma(i)}\bigr),
onde \delta_{i,\sigma(i)} é o delta de Kronecker e a_{i,\sigma(i)} são as entradas de A.

Passo 3

Em cada produto \prod_{i=1}^{n}(\lambda\,\delta_{i,\sigma(i)}-a_{i,\sigma(i)})
cada fator escolhe “ \lambda” se \sigma(i)=i ou “ -a_{i,\sigma(i)}” se \sigma(i)\neq i. O grau em \lambda de cada termo é o número de vezes que escolhemos \lambda, isto é, o número de pontos fixos de \sigma. Para contribuir no termo \lambda^{n-1} precisamos exatamente de n-1 escolhas de \lambda e 1 escolha de -a.

Passo 4

Observe que qualquer permutação \sigma\neq\mathrm{id} move pelo menos dois elementos (porque um ciclo não-trivial tem tamanho \ge2), logo tem no máximo n-2 pontos fixos e não pode produzir grau n-1. A única permutação com exatamente n-1 fixos é \sigma=\mathrm{id}. Para \sigma=\mathrm{id} cada fator é \lambda - a_{ii}, logo
\prod_{i=1}^n(\lambda - a_{ii}) =\lambda^n+\bigl(\sum_{i=1}^n(-a_{ii})\bigr)\,\lambda^{n-1}+\cdots =\lambda^n-\bigl(\sum_{i=1}^n a_{ii}\bigr)\lambda^{n-1}+\cdots.

Resposta

O coeficiente do termo de grau n-1 em p(\lambda) é -\sum_{i=1}^n a_{ii}=-\tr(A).

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