Encontre os autovalores e os autovetores associados das matrizes:
A=\left[\begin{array}{ll}4 & 1 \\\\ 2 & 3\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os autovalores e os autovetores de
A = \begin{pmatrix}4 & 1\\[6pt]2 & 3\end{pmatrix}.
O conteúdo aqui é cálculo de autovalores via polinômio característico e, em seguida, cálculo dos autovetores resolvendo (A-\lambda I)x=0.]

Passo 2

Formamos a matriz A - \lambda I e calculamos seu determinante para obter o polinômio característico:
A - \lambda I = \begin{pmatrix}4-\lambda & 1\\[4pt]2 & 3-\lambda\end{pmatrix}
\det(A-\lambda I) = (4-\lambda)(3-\lambda) - 2 = 12 -4\lambda -3\lambda +\lambda^2 -2 = \lambda^2 -7\lambda +10.]

Passo 3

Resolvendo o polinômio característico
\lambda^2 -7\lambda +10 = 0
usamos a fórmula de Bhaskara:
\lambda = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 40}}{2} = \frac{7 \pm 3}{2}.
Logo as raízes são \lambda_1 = 5 e \lambda_2 = 2.

Passo 4

Para \lambda_1 = 5, montamos A - 5I e resolvemos (A-5I)x=0:
A - 5I = \begin{pmatrix}-1 & 1\\[4pt]2 & -2\end{pmatrix}.
Da primeira linha vem -x_1 + x_2 = 0, isto é, x_2 = x_1.
Um autovetor correspondente é
v_1 = \begin{pmatrix}1 \\[4pt]1\end{pmatrix} \quad(\text{ou qualquer múltiplo não nulo}).úã]

Passo 5

Para \lambda_2 = 2, montamos A - 2I e resolvemos (A-2I)x=0:
A - 2I = \begin{pmatrix}2 & 1\\[4pt]2 & 1\end{pmatrix}.
Da primeira linha vem 2x_1 + x_2 = 0, isto é, x_2 = -2x_1.
Um autovetor correspondente é
v_2 = \begin{pmatrix}1 \\[4pt]-2\end{pmatrix} \quad(\text{ou qualquer múltiplo não nulo}).úã]

Resposta

Os autovalores e autovetores de A são: \displaystyle \lambda_1 = 5, com autovetor associado v_1 = \bigl(1,\,1\bigr)^T. \displaystyle \lambda_2 = 2, com autovetor associado v_2 = \bigl(1,\,-2\bigr)^T.

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