Encontre os autovalores e os autovetores associados das matrizes:
B=\left[\begin{array}{lll}2 & 0 & 0 \\\\ 0 & 2 & 1 \\\\ 0 & 0 & 2\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os autovalores e os autovetores da matriz
B = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0\\\\ 0 & 2 & 1\\\\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}.
O conteúdo que vamos usar é o cálculo do polinômio característico para obter os autovalores e, em seguida, a resolução de (B-\lambda I)v=0 para achar os autovetores.

Passo 2

Para achar o polinômio característico basta calcular
\det(B - \lambda I) =\det\begin{pmatrix} 2-\lambda & 0 & 0\\\\ 0 & 2-\lambda & 1\\\\ 0 & 0 & 2-\lambda \end{pmatrix}.
Como a matriz é triangular superior, o determinante é o produto dos elementos da diagonal, logo
\det(B-\lambda I)=(2-\lambda)^3.
Dessa forma, o único autovalor é \lambda=2, com multiplicidade algébrica 3.

Passo 3

Para encontrar os autovetores, resolvemos
(B-2I)\,v=0, \quad (B-2I)=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 1\\\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad v=\begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix}.
Isso gera o sistema de equações
\begin{cases} 0\cdot x + 0\cdot y + 0\cdot z = 0,\\\\ 0\cdot x + 0\cdot y + 1\cdot z = 0,\\\\ 0\cdot x + 0\cdot y + 0\cdot z = 0. \end{cases}
A única condição não trivial é z=0; x e y ficam livres.

Passo 4

Portanto os autovetores têm a forma
v = \begin{pmatrix}x\y\\\ 0\end{pmatrix},
com (x,y)\neq(0,0). Um conjunto de vetores que gera esse espaço próprio é, por exemplo,
v_1=\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}, \quad v_2=\begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}.

Resposta

O único autovalor é \lambda=2 (multiplicidade algébrica 3). Os autovetores associados formam o plano \{(x,y,0)^T\mid x,y\in\mathbb{R},\;(x,y)\neq(0,0)\}, cujas bases podem ser escolhidas como
\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix} \quad\text{e}\quad \begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}.

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