DESAFIO: Mostre que se a>0, então Xn=raiz[n]a=a^1n é tal que o limite de Xn é 1 .

Passo 1

O problema pede para mostrar que, dado a>0, a sequência
Xn = raiz[n]a = a^1n
tende a 1 quando ntoinfty. Se a=1 é trivial, pois então Xn=1 para todo n. Se aneq1, vamos usar as funções logaritmo e exponencial, que são contínuas em seus domínios naturais, para facilitar o cálculo do limite.

Passo 2

Aplicamos o logaritmo natural em Xn. Como ln é contínuo e monótono em (0,infty), temos
ln(Xn) = lnl(a^1nr) = 1n,ln(a)

Passo 3

Observamos que ln(a) é uma constante fixa (podendo ser positiva, negativa ou zero), e tfrac1nto0 quando ntoinfty. Logo,
limntoinftyln(Xn) = limntoinfty1n,ln(a) = 0

Passo 4

Como a função exponencial exp é contínua e inversa de ln, podemos passar do limite de ln(Xn) para o de Xn:
limntoinftyXn = limntoinftyexpl(ln(Xn)r) = exp!l(limntoinftyln(Xn)r) = exp(0) = 1

Resposta

limntoinftyraiz[n]a = 1

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