DESAFIO: Mostre que se
, então
é tal que o limite de
é 1 .
Passo 1
O problema pede para mostrar que, dado
, a sequência
tende a
quando
. Se
é trivial, pois então
para todo
. Se
, vamos usar as funções logaritmo e exponencial, que são contínuas em seus domínios naturais, para facilitar o cálculo do limite.
Passo 2
Aplicamos o logaritmo natural em
. Como
é contínuo e monótono em
, temos
Passo 3
Observamos que
é uma constante fixa (podendo ser positiva, negativa ou zero), e
quando
. Logo,
Passo 4
Como a função exponencial
é contínua e inversa de
, podemos passar do limite de
para o de
: