Utilizando técnicas de integração, determine:
integral-raiz3^raiz3 f(arctg x)1+x^2 d x, sendo f contínua e par tal que integral0^pi / 3 f(x) d x=12.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do integral
integral-raiz3^raiz3 f(arctgx)1+x^2,dx,
sabendo que f é contínua, par, e que
integral0^pi/3 f(x),dx = tfrac12
Vamos usar a substituição t = arctgx, pois tfracddxl(arctgxr)=tfrac11+x^2.

Passo 2

Com t=arctgx temos
dt = dx1+x^2
e, quando x=-raiz3, t=-pi/3; quando x=raiz3, t=pi/3. Logo o integral vira
integral-raiz3^raiz3 f(arctgx)1+x^2,dx = integral-pi/3^pi/3 f(t),dt

Passo 3

Como f é função par, vale f(t)=f(-t). Então
integral-pi/3^pi/3 f(t),dt = 2integral0^pi/3 f(t),dt

Passo 4

Pelo enunciado, integral0^pi/3 f(t),dt=tfrac12. Substituindo,
2integral0^pi/3 f(t),dt = 2 cdot tfrac12 = 1

Resposta

1

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