Utilizando técnicas de integração, determine:
integral e^t cos t d t

Passo 1

Então, a gente tem o seguinte exercício: calcular a integral de e^t cos t em relação a t . Vamos usar técnicas de integração, especificamente a integração por partes, que é uma ferramenta poderosa para resolver integrais envolvendo produtos de funções. Para isso, precisamos lembrar da fórmula de integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du

Passo 2

Primeiro, vamos identificar quais partes da nossa função serão u e dv . Geralmente, escolhemos u como a função que fica mais simples quando derivada. Vamos definir:
u = e^t Rightarrow du = e^t dt
dv = cos t , dt Rightarrow v = integral cos t , dt = sin t

Passo 3

Agora, aplicamos a fórmula de integração por partes:
integral e^t cos t , dt = u cdot v - integral v , du = e^t sin t - integral e^t sin t , dt

Passo 4

A gente acabou de reduzir a integral original para integral e^t sin t , dt . Vamos chamar essa integral de I :
I = integral e^t sin t , dt
Para resolver I , vamos aplicar integração por partes novamente, escolhendo:
u = e^t Rightarrow du = e^t dt
dv = sin t , dt Rightarrow v = -cos t

Passo 5

Aplicando integração por partes na integral I :
I = u cdot v - integral v , du = -e^t cos t + integral e^t cos t , dt
Observe que agora temos de volta a integral original integral e^t cos t , dt , que chamamos de J :
J = integral e^t cos t , dt

Passo 6

Recapitulando as duas equações que obtivemos:
  1. J = e^t sin t - I
  2. I = -e^t cos t + J
Substituindo a segunda equação na primeira:
J = e^t sin t - (-e^t cos t + J)
Simplificando:
J = e^t sin t + e^t cos t - J

Passo 7

Agora, vamos resolver para J :
J + J = e^t (sin t + cos t)
2J = e^t (sin t + cos t)
J = e^t2 (sin t + cos t) + C

Resposta

A integral de e^t cos t em relação a t é:
integral e^t cos t , dt = e^t2 (sin t + cos t) + C

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