Utilizando técnicas de integração, determine:
Passo 1
Então, a gente tem o seguinte exercício: calcular a integral de
em relação a
. Vamos usar técnicas de integração, especificamente a integração por partes, que é uma ferramenta poderosa para resolver integrais envolvendo produtos de funções. Para isso, precisamos lembrar da fórmula de integração por partes:
Passo 2
Primeiro, vamos identificar quais partes da nossa função serão
e
. Geralmente, escolhemos
como a função que fica mais simples quando derivada. Vamos definir:
Passo 3
Agora, aplicamos a fórmula de integração por partes:
Passo 4
A gente acabou de reduzir a integral original para
. Vamos chamar essa integral de
:
Para resolver
, vamos aplicar integração por partes novamente, escolhendo:
Passo 5
Aplicando integração por partes na integral
:
Observe que agora temos de volta a integral original
, que chamamos de
:
Passo 6
Recapitulando as duas equações que obtivemos:
Substituindo a segunda equação na primeira:
Simplificando:
Passo 7
Agora, vamos resolver para
:
Resposta
A integral de
em relação a
é: