Desafio:
Mostre que P(A cup B)=P(A)+P(B)-P(A cap B) e use indução matemática para mostrar que
P(cupi=1^n Ai) <= sumi=1^n P(Ai)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente provar duas coisas relacionadas a probabilidades de união de eventos. Primeiro, mostrar que a probabilidade da união de dois eventos $ A $ e $ B $ é igual a $ P(A) + P(B) - P(A \cap B) $. Depois, usar indução matemática para provar que, para qualquer número de eventos $ A_1, A_2, \dots, A_n $, a probabilidade da união deles é no máximo a soma das probabilidades individuais, ou seja:
A
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos básicos de probabilidade, como união ($ \cup B çã \cap $) de eventos, além de saber aplicar indução matemática.

Passo 2

Primeiro, vamos provar que:
P(A cup B) = P(A) + P(B) - P(A cap B)
Isso faz sentido porque, se a gente somar $ P(A) $ e $ P(B) $, a parte onde ambos acontecem, $ P(A \cap B) $, está sendo contada duas vezes. Por isso, subtraímos $ P(A \cap B) $ para evitar essa contagem dupla.

Passo 3

Vamos detalhar essa prova. Sabemos que:
P(A cup B) = P(A) + P(B) - P(A cap B)
Isso ocorre porque $ P(A \cup B) $ contabiliza todas as ocorrências de $ A $ e $ B $, mas os casos onde $ A $ e $ B $ acontecem juntos (a interseção $ A \cap B $) são incluídos em ambos $ P(A) $ e $ P(B) $. Então, para não contar esses casos duas vezes, subtraímos $ P(A \cap B) $.

Passo 4

Agora, vamos usar indução matemática para provar que:
P(cupi=1^n Ai) <= sumi=1^n P(Ai)
Primeiro, entendemos que a soma das probabilidades individuais é sempre pelo menos tão grande quanto a probabilidade da união dos eventos, porque estamos considerando todas as possibilidades sem descontar as interseções.

Passo 5

Base da Indução: Para $ n = 1 $, temos:
n = 1
Isso é obviamente verdadeiro.

Passo 6

Passo Indutivo: Suponha que a afirmação seja verdadeira para algum $ k \geq 1 $, ou seja:
k >= 1
Precisamos mostrar que também é válida para $ k + 1 $.

Passo 7

Consideremos $ \bigcup_{i=1}^{k+1} A_{i} = \left(\bigcup_{i=1}^{k} A_{i}\right) \cup A_{k+1} $.
Pela primeira parte que provamos:
cupi=1^k+1 Ai = (cupi=1^k Ai) cup Ak+1

Passo 8

Pela hipótese de indução:
P(cupi=1^k Ai) <= sumi=1^k P(Ai)
E sabemos que a interseção $ P\left(\bigcup_{i=1}^{k} A_{i} \cap A_{k+1}\right) \geq 0 $, então:
P(cupi=1^k Ai cap Ak+1) >= 0

Passo 9

Simplificando:
P(cupi=1^k+1 Ai) <= sumi=1^k+1 P(Ai)
Portanto, a afirmação é verdadeira para $ k + 1 $.

Passo 10

Como a base da indução foi verdadeira e o passo indutivo também, por indução matemática, mostramos que para todo $ n \geq 1 $:
n >= 1

Resposta

Assim, comprovamos que $ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) $ e, por indução matemática, que para qualquer número de eventos $ n $:
P(A cup B) = P(A) + P(B) - P(A cap B)

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