Desafio:
Mostre que
e use indução matemática para mostrar que
Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente provar duas coisas relacionadas a probabilidades de união de eventos. Primeiro, mostrar que a probabilidade da união de dois eventos $ A $ e $ B $ é igual a $ P(A) + P(B) - P(A \cap B) $. Depois, usar indução matemática para provar que, para qualquer número de eventos $ A_1, A_2, \dots, A_n $, a probabilidade da união deles é no máximo a soma das probabilidades individuais, ou seja:
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos básicos de probabilidade, como união ($ \cup
\cap $) de eventos, além de saber aplicar indução matemática.
Passo 2
Primeiro, vamos provar que:
Isso faz sentido porque, se a gente somar $ P(A) $ e $ P(B) $, a parte onde ambos acontecem, $ P(A \cap B) $, está sendo contada duas vezes. Por isso, subtraímos $ P(A \cap B) $ para evitar essa contagem dupla.
Passo 3
Vamos detalhar essa prova. Sabemos que:
Isso ocorre porque $ P(A \cup B) $ contabiliza todas as ocorrências de $ A $ e $ B $, mas os casos onde $ A $ e $ B $ acontecem juntos (a interseção $ A \cap B $) são incluídos em ambos $ P(A) $ e $ P(B) $. Então, para não contar esses casos duas vezes, subtraímos $ P(A \cap B) $.
Passo 4
Agora, vamos usar indução matemática para provar que:
Primeiro, entendemos que a soma das probabilidades individuais é sempre pelo menos tão grande quanto a probabilidade da união dos eventos, porque estamos considerando todas as possibilidades sem descontar as interseções.
Passo 5
Base da Indução: Para $ n = 1 $, temos:
Isso é obviamente verdadeiro.
Passo 6
Passo Indutivo: Suponha que a afirmação seja verdadeira para algum $ k \geq 1 $, ou seja:
Precisamos mostrar que também é válida para $ k + 1 $.
Passo 7
Consideremos $ \bigcup_{i=1}^{k+1} A_{i} = \left(\bigcup_{i=1}^{k} A_{i}\right) \cup A_{k+1} $.
Pela primeira parte que provamos:
Passo 8
Pela hipótese de indução:
E sabemos que a interseção $ P\left(\bigcup_{i=1}^{k} A_{i} \cap A_{k+1}\right) \geq 0 $, então:
Passo 9
Simplificando:
Portanto, a afirmação é verdadeira para $ k + 1 $.
Passo 10
Como a base da indução foi verdadeira e o passo indutivo também, por indução matemática, mostramos que para todo $ n \geq 1 $:
Resposta
Assim, comprovamos que $ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) $ e, por indução matemática, que para qualquer número de eventos $ n $: