Seja uma variável aleatória com função de distribuição dada por
(a) Prove que de fato F é uma função de distribuição.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente provar que uma função $ F(x) $ é, de fato, uma função de distribuição de uma variável aleatória $ X $. A função $ F(x) $ está definida de forma diferente em três intervalos:
$ F(x) = 0 $ se $ x < 0 $
$ F(x) = \log x $ se $ 1 \leq x < e $
$ F(x) = 1 $ se $ x \geq e $
Para provar que $ F(x) $ é uma função de distribuição, precisamos verificar algumas propriedades básicas da teoria de probabilidade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar quais são as propriedades que uma função precisa ter para ser considerada uma função de distribuição acumulada (FDA):
Limites:
$ \lim_{x \to -\infty} F(x) = 0 $
$ \lim_{x \to +\infty} F(x) = 1 $
Monotonicidade:
$ F(x) $ deve ser não decrescente. Isso significa que, conforme $ x $ aumenta, $ F(x) $ nunca diminui.
Continuidade à direita:
A função $ F(x) $ deve ser contínua à direita em todos os pontos.
Vamos verificar cada uma dessas propriedades para a função dada.
Passo 3
1. Verificando os limites:
Para $ x \to -\infty $, como $ x < 0 $, $ F(x) = 0 $. Então,
x to -infty
Para $ x \to +\infty $, como $ x \geq e $, $ F(x) = 1 $. Então,
x < 0
Conclusão: Os limites estão corretos.
Passo 4
2. Verificando a monotonicidade:
Vamos analisar cada intervalo:
Para $ x < 0 $, $ F(x) = 0 $. É constante, então não diminui.
Para $ 1 \leq x < e $, $ F(x) = \log x $. A função logarítmica é crescente nesse intervalo porque $ \frac{d}{dx} \log x = \frac{1}{x} > 0 $ para $ x > 0 $.
Para $ x \geq e $, $ F(x) = 1 $. É constante, então não diminui.
Entre os intervalos, precisamos verificar a continuidade:
Em $ x = 0 $: $ F(x) $ passa de 0 para 0 (já que para $ x < 0 $, $ F(x) = 0 $ e para $ 0 \leq x < 1 $ não está definido, mas assumimos que $ F(x) $ permanece 0 até $ x = 1 $).
Em $ x = 1 $: $ F(x) $ passa de 0 para $ \log 1 = 0 $, então não há diminuição.
Em $ x = e $: $ F(x) $ passa de $ \log e = 1 $ para 1, então também não há diminuição.
Conclusão: $ F(x) $ é não decrescente em todo o domínio.
Passo 5
3. Verificando a continuidade à direita:
Vamos ver se $ F(x) $ é contínua à direita em todos os pontos:
Para $ x < 0 $, $ F(x) = 0 $. Não há descontinuidade aqui.
Em $ x = 1 $:
O limite pela direita é $ \lim_{x \to 1^+} \log x = 0 $.
$ F(1) = \log 1 = 0 $.
Então, não há descontinuidade.
Em $ x = e $:
O limite pela direita é $ \lim_{x \to e^+} F(x) = 1 $.
$ F(e) = 1 $.
Novamente, sem descontinuidade.
Conclusão: $ F(x) $ é contínua à direita em todos os pontos.
Resposta
Como todas as propriedades necessárias são atendidas, concluímos que $ F(x) $ é de fato uma função de distribuição para a variável aleatória $ X $.