3. (2.5 pontos)
Encontre uma solução do problema de valor inicial
É possível afirmar que a solução encontrada é única? Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
O conteúdo é EDO linear de primeira ordem. Vamos usar o fator integrante para encontrar a solução geral e depois aplicar a condição inicial.
Passo 2
Identificamos
. O fator integrante é
Passo 3
Multiplicamos a equação original por
:
O lado esquerdo é a derivada do produto:
Passo 4
Integramos ambos os lados em
:
Para calcular a integral use
,
, então
:
Logo
Passo 5
Isolando
:
Usando
dá
Portanto
Passo 6
Como
e o termo não homogêneo
são funções contínuas em todo
, o Teorema de existência e unicidade garante que a solução do problema de valor inicial é única.
Resposta
A solução é
e ela é única em toda
pelo Teorema de existência e unicidade para EDOs lineares.