3. (2.5 pontos)

Encontre uma solução do problema de valor inicial
y^{\prime}(x)+x y(x)=x^{3}, \quad y(0)=-2
É possível afirmar que a solução encontrada é única? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
y'(x) + x\,y(x) = x^3, \quad y(0) = -2.
O conteúdo é EDO linear de primeira ordem. Vamos usar o fator integrante para encontrar a solução geral e depois aplicar a condição inicial.

Passo 2

Identificamos p(x)=x. O fator integrante é
\mu(x) = \exp\Bigl(\int p(x)\,dx\Bigr) = \exp\Bigl(\int x\,dx\Bigr) = \exp\bigl(\tfrac{x^2}{2}\bigr).

Passo 3

Multiplicamos a equação original por \mu(x):
e^{x^2/2}\,y' + x\,e^{x^2/2}\,y = x^3\,e^{x^2/2}.
O lado esquerdo é a derivada do produto:
\frac{d}{dx}\bigl(y\,e^{x^2/2}\bigr) = x^3\,e^{x^2/2}.

Passo 4

Integramos ambos os lados em x:
y\,e^{x^2/2} = \int x^3\,e^{x^2/2}\,dx + C.
Para calcular a integral use t=\tfrac{x^2}{2}, dt=x\,dx, então x^3\,dx = 2t\,dt:
\int x^3\,e^{x^2/2}\,dx = 2\int t\,e^t\,dt = 2\bigl(t-1\bigr)e^t + C_1 = \bigl(x^2-2\bigr)e^{x^2/2} + C_1.
Logo
y\,e^{x^2/2} = \bigl(x^2-2\bigr)e^{x^2/2} + C.

Passo 5

Isolando y:
y(x) = x^2 - 2 + C\,e^{-x^2/2}.
Usando y(0)=-2
-2 = 0^2 - 2 + C\;\Longrightarrow\;C=0.
Portanto
y(x) = x^2 - 2.

Passo 6

Como p(x)=x e o termo não homogêneo x^3 são funções contínuas em todo \mathbb{R}, o Teorema de existência e unicidade garante que a solução do problema de valor inicial é única.

Resposta

A solução é
y(x) = x^2 - 2,
e ela é única em toda \mathbb{R} pelo Teorema de existência e unicidade para EDOs lineares.

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